A Eva se le encargó calcular el siguiente límite: $$ \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^2+1}{2x^2} $$ De sus clases de matemáticas recuerda que si está calculando el límite de un cociente y tanto el numerador como el denominador tienden a infinito, puede utilizar la regla de l'Hôpital. Gracias a la regla de l'Hôpital, puede utilizar la diferenciación para hallar el límite.
(1) Como, en este caso, se trata de un cociente, aplicó la siguiente regla de derivación: $$ \left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f' g-fg'}{g^2 } $$ y modificó el límite de la siguiente manera: $$ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2+1}{2x^2 } =\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2x \cdot 2x ^2-(x^2+1) \cdot 4x}{4x^4 } $$
(2) A continuación, simplificó la expresión en el límite: $$ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{ 2x \cdot 2x^2-(x^2+1)\cdot 4x}{4x^4} =\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{4x ^3-4x^3-4x}{4x^4}=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-4x}{4x^4}=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-1}{x^3} $$ La problemática $x$, que hacía que la expresión fuera de la forma $\frac{\infty}{\infty}$, se anuló y se eliminó del numerador.
(3) Además, para calcular este límite, Eva consideró que $$ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} =0 $$ y obtuvo: $$ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-1}{x^3} =0 $$
(4) Basándose en este resultado, concluyó que $$ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2+1}{2x^2} =0. $$ ¿Cometió Eva algún error? En caso afirmativo, especifica dónde.
Sí. El error está en el paso (1). La regla de l'Hôpital no se aplicó correctamente.
Sí. El error está en el paso (2). No podemos escribir $\frac{-4x}{4x^4}=\frac{-1}{x^3}$. No sabemos si $x=0$.
Sí. El error está en el paso (3). Debería haber sido: $$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-1}{x^3} =-\infty$$
Sí. Todos los pasos son innecesarios. La expresión de la forma $\frac{\infty}{\infty}$ siempre es igual a $1$.
No. Todo el procedimiento es correcto.
Al aplicar la regla de l'Hôpital, debemos considerar el hecho de que el numerador y el denominador se derivan por separado. Eva confundió esta regla con la derivada de un cociente, por lo que su procedimiento para hallar el límite no es correcto. La forma correcta de aplicar la regla de l'Hôpital es: $$ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2+1}{2x^2 } =\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2x}{4x}=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac24=\frac12. $$