$a_5$

Eva, Tomáš a Roman vyriešili úlohu:

V nekonečnej geometrickej postupnosti $(a_n)$ je kvocient $q=\frac{\sqrt{3}}{3}$ a súčet všetkých jej členov sa rovná $51(\sqrt3+1)$. Vypočítajte $a_5$.

Všetci traja použili vzorec pre súčet nekonečnej konvergentnej geometrickej postupnosti s prvým členom $a_1$ a kvocientom $q$: $$ S=\frac{a_1}{1-q} $$

Eva vyriešila úlohu takto:

Vyjadrila člen $a_5$: $$ a_5=a_1 q^4 $$ a dosadila $S=51(\sqrt3+1)$ a $a_1=a_5 q^{-4}$ do vzťahu pre súčet: $$ 51(\sqrt3+1)=\frac{a_5}{1-q} \cdot \frac{1}{q^4 } $$ Z toho dostala: $$ a_5=51(\sqrt3+1)(q^4-q^5 ) $$ Nakoniec dosadila za $q$ a vypočítala $a_5$: $$ \begin{align} a_5 & =51(\sqrt3+1)\left(\frac19-\frac19 \cdot \frac{1}{\sqrt3} \right)\cr a_5 & =\frac{51}{9\sqrt3} (\sqrt3+1)(\sqrt3-1) \cr a_5 & =\frac{34}{3\sqrt3} \end{align} $$

Tomáš prezentoval toto riešenie:

Zo vzorca pre súčet vyjadril $a_1$: $$ a_1=S(1-q) $$ Keďže $S=51(\sqrt3+1)$ a $q=\frac{1}{\sqrt3}$ pokračoval: $$ \begin{align} a_1 &=51(\sqrt3+1) \left(1-\frac{1}{\sqrt3}\right) \cr \sqrt3 a_1&=51(\sqrt3+1)(\sqrt3-1) \cr a_1&=\frac{102}{\sqrt3} \end{align} $$ Nakoniec využitím vzťahu $a_5=a_1+4q$ vypočítal $a_5$: $$ \begin{align} a_5&=\frac{102}{\sqrt3}+\frac{4}{\sqrt3} \cr a_5&=\frac{106}{\sqrt3} \end{align} $$

Roman dosadil $51(\sqrt3+1)$ za $S$ a $\frac{\sqrt3}{3}$ za $q$ do vzorca pre súčet: $$ 51(\sqrt3+1)=\frac{a_1}{1-\frac{\sqrt3}{3}} $$ Potom pokračoval: $$ \begin{align} 51(\sqrt3+1) & =\frac{3a_1}{3-\sqrt3} \cr 51(\sqrt3+1)(3-\sqrt3) & =3a_1 \cr 3a_1 & =51(3\sqrt3-\sqrt3) \cr a_1 & =34\sqrt3 \end{align} $$ Nakoniec určil $a_5$: $$ \begin{align} a_5 & =a_1+4q \cr a_5 & =34{\sqrt3}+4 \cdot \frac{\sqrt3}{3} \cr a_5 & =\frac{102\sqrt3+4\sqrt3}{3} \cr a_5 & =\frac{106\sqrt3}{3} \end{align} $$ Kto z nich vyriešil úlohu správne?