$a_5$

Eva, Tomáš a Roman řešili úlohu:

V nekonečné geometrické posloupnosti $(a_n)$ známe její kvocient $q=\frac{\sqrt{3}}{3}$ a součet všech jejích členů, který je roven $51(\sqrt3+1)$. Vypočítejte $a_5$.

Všichni tři použili vzorec pro součet nekonečné (konvergentní) geometrické řady s prvním členem $(a_1)$ a kvocientem $q$: $$ S=\frac{a_1}{1-q}. $$

Eva vyřešila úlohu takto:

Vyjádřila si pátý člen posloupnosti $a_5$: $$ a_5=a_1 q^4 $$ a poté dosadila za $S=51(\sqrt3+1)$ a $a_1=a_5 q^{-4}$ do vztahu pro součet: $$ 51(\sqrt3+1)=\frac{a_5}{1-q} \cdot \frac{1}{q^4 }. $$ Odtud obdržela: $$ a_5=51(\sqrt3+1)(q^4-q^5 ). $$ Nakonec dosadila za $q$ a vypočetla $a_5$: $$ \begin{align} a_5 & =51(\sqrt3+1)\left(\frac19-\frac19 \cdot \frac{1}{\sqrt3} \right)\cr a_5 & =\frac{51}{9\sqrt3} (\sqrt3+1)(\sqrt3-1) \cr a_5 & =\frac{34}{3\sqrt3}. \end{align} $$

Tomáš prezentoval následující řešení:

Ze vzorce pro součet vyjádřil $a_1$: $$ a_1=S(1-q). $$ Kde $S=51(\sqrt3+1)$ a $q=\frac{1}{\sqrt3}$, tzn.: $$ \begin{align} a_1 &=51(\sqrt3+1) \left(1-\frac{1}{\sqrt3}\right) \cr \sqrt3 a_1&=51(\sqrt3+1)(\sqrt3-1) \cr a_1&=\frac{102}{\sqrt3}. \end{align} $$ Nakonec využitím vztahu $a_5=a_1+4q$ vypočetl $a_5$: $$ \begin{align} a_5&=\frac{102}{\sqrt3}+\frac{4}{\sqrt3} \cr a_5&=\frac{106}{\sqrt3}. \end{align} $$

Roman dosadil $51(\sqrt3+1)$ za $S$ a $\frac{\sqrt3}{3}$ za $q$ do vzorce pro součet: $$ 51(\sqrt3+1)=\frac{a_1}{1-\frac{\sqrt3}{3}}. $$ Potom pokračoval: $$ \begin{align} 51(\sqrt3+1) & =\frac{3a_1}{3-\sqrt3} \cr 51(\sqrt3+1)(3-\sqrt3) & =3a_1 \cr 3a_1 & =51(3\sqrt3-\sqrt3) \cr a_1 & =34\sqrt3. \end{align} $$ Nakonec určil $a_5$: $$ \begin{align} a_5 & =a_1+4q \cr a_5 & =34{\sqrt3}+4 \cdot \frac{\sqrt3}{3} \cr a_5 & =\frac{102\sqrt3+4\sqrt3}{3} \cr a_5 & =\frac{106\sqrt3}{3}. \end{align} $$ Kdo z nich vyřešil úlohu správně?