$a_5$

Eva, Tomás y Pablo intentaron resolver la siguiente tarea:

Sea una progresión geométrica infinita $(a_n)$ con razón común $q=\frac{\sqrt{3}}{3}$ y la suma de todos sus términos igual a $51(\sqrt3+1)$. Calcula $a_5$.

Los tres utilizaron la fórmula de la suma de una progresión geométrica convergente infinita con el primer término $a_1$ y razón común $q$: $$ S=\frac{a_1}{1-q} $$

Eva solucionó la tarea de esta manera:

Expresó el término $a_5$: $$ a_5=a_1 q^4 $$ y sustituyó $S=51(\sqrt3+1)$ y $a_1=a_5 q^{-4}$ en la fórmula para la suma: $$ 51(\sqrt3+1)=\frac{a_5}{1-q} \cdot \frac{1}{q^4 } $$ A partir de aquí salió: $$ a_5=51(\sqrt3+1)(q^4-q^5 ) $$ Por último, sustituyó $q$ y calculó $a_5$: $$ \begin{align} a_5 & =51(\sqrt3+1)\left(\frac19-\frac19 \cdot \frac{1}{\sqrt3} \right)\cr a_5 & =\frac{51}{9\sqrt3} (\sqrt3+1)(\sqrt3-1) \cr a_5 & =\frac{34}{3\sqrt3} \end{align} $$

Tomás presentó la siguiente solución:

A partir de la fórmula de la suma expresó $a_1$: $$ a_1=S(1-q) $$ Siendo $S=51(\sqrt3+1)$ y $q=\frac{1}{\sqrt3}$, continuó: $$ \begin{align} a_1 &=51(\sqrt3+1) \left(1-\frac{1}{\sqrt3}\right) \cr \sqrt3 a_1&=51(\sqrt3+1)(\sqrt3-1) \cr a_1&=\frac{102}{\sqrt3} \end{align} $$ Por último, utilizó la fórmula $a_5=a_1+4q$ para calcular $a_5$: $$ \begin{align} a_5&=\frac{102}{\sqrt3}+\frac{4}{\sqrt3} \cr a_5&=\frac{106}{\sqrt3} \end{align} $$

Pablo sustituyó $S$ por $51(\sqrt3+1)$ y $q$ por $\frac{\sqrt3}{3}$ en la fórmula de la suma: $$ 51(\sqrt3+1)=\frac{a_1}{1-\frac{\sqrt3}{3}} $$ Luego continuó: $$ \begin{align} 51(\sqrt3+1) & =\frac{3a_1}{3-\sqrt3} \cr 51(\sqrt3+1)(3-\sqrt3) & =3a_1 \cr 3a_1 & =51(3\sqrt3-\sqrt3) \cr a_1 & =34\sqrt3 \end{align} $$ Por último, determinó $a_5$: $$ \begin{align} a_5 & =a_1+4q \cr a_5 & =34{\sqrt3}+4 \cdot \frac{\sqrt3}{3} \cr a_5 & =\frac{102\sqrt3+4\sqrt3}{3} \cr a_5 & =\frac{106\sqrt3}{3} \end{align} $$ ¿Cuál de ellos solucionó correctamente la tarea?