$a_5$

Ewa, Tomasz i Roman rozwiązali zadanie:

W nieskończonym ciągu geometrycznym $(a_n)$ dany jest iloraz $q=\frac{\sqrt{3}}{3}$ i suma wszystkich jego wyrazów jest równa $51(\sqrt3+1)$. Oblicz $a_5$.

Wszyscy trzej zastosowali wzór na sumę nieskończonego zbieżnego szeregu geometrycznego z pierwszym wyrazem $a_1$ i ilorazem $q$: $$ S=\frac{a_1}{1-q} $$

Ewa rozwiązała zadanie w ten sposób:

Wyraziła wyraz $a_5$: $$ a_5=a_1 q^4 $$ i podstawiła $S=51(\sqrt3+1)$ i $a_1=a_5 q^{-4}$ do wzoru na sumę: $$ 51(\sqrt3+1)=\frac{a_5}{1-q} \cdot \frac{1}{q^4 } $$ Stąd dostała: $$ a_5=51(\sqrt3+1)(q^4-q^5 ) $$ Na koniec zastąpiła $q$ i obliczyła $a_5$: $$ \begin{align} a_5 & =51(\sqrt3+1)\left(\frac19-\frac19 \cdot \frac{1}{\sqrt3} \right)\cr a_5 & =\frac{51}{9\sqrt3} (\sqrt3+1)(\sqrt3-1) \cr a_5 & =\frac{34}{3\sqrt3} \end{align} $$ Tomasz przedstawił to rozwiązanie:

Ze wzoru na sumę, którą wyraził $a_1$: $$ a_1=S(1-q) $$ Ponieważ $S=51(\sqrt3+1)$ i $q=\frac{1}{\sqrt3}$, kontynuował: $$ \begin{align} a_1 &=51(\sqrt3+1) \left(1-\frac{1}{\sqrt3}\right) \cr \sqrt3 a_1&=51(\sqrt3+1)(\sqrt3-1) \cr a_1&=\frac{102}{\sqrt3} \end{align} $$ Na koniec użył wzoru $a_5=a_1+4q$ do obliczenia $a_5$: $$ \begin{align} a_5&=\frac{102}{\sqrt3}+\frac{4}{\sqrt3} \cr a_5&=\frac{106}{\sqrt3} \end{align} $$

Roman podstawił $51(\sqrt3+1)$ zamiast $S$ i $\frac{\sqrt3}{3}$ zamiast $q$ we wzorze na sumę: $$ 51(\sqrt3+1)=\frac{a_1}{1-\frac{\sqrt3}{3}} $$ Następnie kontynuował: $$ \begin{align} 51(\sqrt3+1) & =\frac{3a_1}{3-\sqrt3} \cr 51(\sqrt3+1)(3-\sqrt3) & =3a_1 \cr 3a_1 & =51(3\sqrt3-\sqrt3) \cr a_1 & =34\sqrt3 \end{align} $$ W końcu ustalił $a_5$: $$ \begin{align} a_5 & =a_1+4q \cr a_5 & =34{\sqrt3}+4 \cdot \frac{\sqrt3}{3} \cr a_5 & =\frac{102\sqrt3+4\sqrt3}{3} \cr a_5 & =\frac{106\sqrt3}{3} \end{align} $$ Który z nich poprawnie rozwiązał zadanie?