$$\lim_{x\rightarrow 3} \left[\mathrm{sgn} (x - 3) +2\right]$$

Funkcia signum (sgn) je definovaná tak, že záporným číslam priradí $-1$, nule $0$ a kladným číslam $+1$. Adam mal nájsť limitu funkcie $$ f(x) = \mathrm{sgn} (x - 3) +2 $$ v bode $x = 3$. Z hodín matematiky si zapamätal postup, ktorý spočíva vo výpočte funkčnej hodnoty a výsledok sa rovná požadovanej limite. Preto urobil nasledujúci výpočet: $$ \lim_{x\rightarrow 3} \left[\mathrm{sgn} (x - 3) + 2\right] = \mathrm{sgn} (3-3) + 2 = \mathrm{sgn} \,0 + 2 = 0 + 2 = 2. $$

Jeho spolužiaci potom komentovali jeho spôsob riešenia. Kto má pravdu?

Alica: Adam sa mýli. Hodnota funkcie $\mathrm{sgn}$ v bode $x = 3$ sa rovná $+1$. Pripočítaním čísla $2$ dostaneme hľadanú limitu, ktorá sa rovná $3$.

Bob: Adam sa mýli. Funkcia $f$ v bode $x = 3$ nie je spojitá. Preto sa limita nemôže rovnať funkčnej hodnote.

Chris: Adam má pravdu. Limitu môžeme vždy vypočítať ako funkčnú hodnotu.

Dávid: Adam sa mýli. Správny spôsob riešenia je: $$ \lim_{x\rightarrow 3} \left[\mathrm{sgn} (x - 3) + 2\right] = \lim_{x\rightarrow 3} \left[\mathrm{sgn} (x - 1) \right]=\mathrm{sgn}\,2 =1. $$