$$\lim_{x\rightarrow 3} \left[\mathrm{sgn} (x - 3) +2\right]$$

Funkce signum (sgn) je definována tak, že záporným číslům přiřadí −1, nule přiřadí 0 a kladným číslům přiřadí +1. Adam má za úkol vypočítat limitu funkce $$ f(x) = \mathrm{sgn} (x - 3) +2 $$ v bodě $x = 3$. Z hodin matematiky si zapamatoval postup, kdy stačí spočítat funkční hodnotu a výsledek je roven hledané limitě. Provede proto následující výpočet: $$ \lim_{x\rightarrow 3} \left[\mathrm{sgn} (x - 3) + 2\right] = \mathrm{sgn} (3-3) + 2 = \mathrm{sgn} \,0 + 2 = 0 + 2 = 2. $$

Spolužáci komentovali jeho řešení. Kdo z nich má pravdu?

Alice: Adam počítal špatně. Funkce $\mathrm{sgn} $ má v bodě $x = 3$ hodnotu $+1$. Po přičtení čísla $2$ dostaneme hledanou limitu, která je rovna $3$.

Bob: Adam počítal špatně. Funkce $f$ není v bodě $x = 3$ spojitá. Limita proto není rovna funkční hodnotě.

Chris: Adam počítal správně. Limitu můžeme počítat vždy jako funkční hodnotu.

David: Adam počítal špatně. Správný výpočet je následující: $$ \lim_{x\rightarrow 3} \left[\mathrm{sgn} (x - 3) + 2\right] = \lim_{x\rightarrow 3} \left[\mathrm{sgn} (x - 1) \right]=\mathrm{sgn}\,2 =1. $$