$$\lim_{x\rightarrow 3} \left[\mathrm{sgn} (x - 3) +2\right]$$

Funkcja signum (sgn) jest zdefiniowana do przypisywania $-1$ dla liczb ujemnych, $0$ do liczby zero, i $+1$ do liczb dodatnich. Adam został poproszony o znalezienie granicy funkcji $$ f(x) = \mathrm{sgn} (x - 3) +2 $$ w punkcie $x = 3$. Z lekcji matematyki zapamiętał procedurę, która polega na obliczeniu wartości funkcji, a wynik jest równy pożądanej granicy $$ \lim_{x\rightarrow 3} \left[\mathrm{sgn} (x - 3) + 2\right] = \mathrm{sgn} (3-3) + 2 = \mathrm{sgn} \,0 + 2 = 0 + 2 = 2. $$

Jego koledzy z klasy skomentowali jego sposób rozwiązywania problemów. Kto ma rację?

Alice: Adam się myli. Wartość funkcji $\mathrm{sgn} $ w punkcie $x = 3$ równa się $+1$. Dodanie liczby $2$ daje nam poszukiwany limit, który jest równy $3$.

Bob: Adam jest w błędzie. Funkcja $f$ w punkcie $x = 3$ nie jest ciągła. Dlatego granica nie może być równa wartości funkcji.

Chris: Adam ma rację. Limit można zawsze obliczyć jako wartość funkcji.

David: Adam się myli. Prawidłowy sposób rozwiązania to: $$ \lim_{x\rightarrow 3} \left[\mathrm{sgn} (x - 3) + 2\right] = \lim_{x\rightarrow 3} \left[\mathrm{sgn} (x - 1) \right]=\mathrm{sgn}\,2 =1. $$