Monika a Ester riešili nasledujúci príklad: V trojuholníku $ABC$ je veľkosť $\measuredangle ABC$ $120^{\circ}$, $|AC|=6$ a $|BC|=3$. Bod $D$ je prienikom osi $\measuredangle ACB$ a úsečky $AB$. Vypočítajte dĺžku úsečky $DB$.
Obe vychádzali z obrázku:
Potom zostrojili úsečku kolmú na úsečku $AB$ prechádzajúcu bodom $C$. Takto získali pravouhlý trojuholník $BEC$ s ostrými uhlami $30^{\circ}$, $60^{\circ}$ a preponou $|BC|=3$.
(1) Dĺžky strán $BE$ a $CE$ bolo ľahké určiť: $$
\begin{gather}
|BE|=|BC|\cdot \cos 60^{\circ} =\frac32 \cr
|CE|=|BC|\cdot \sin 60^{\circ} =\frac{3\sqrt3}{2}
\end{gather}
$$
(2) Potom použili Pytagorovu vetu na výpočet dĺžky $AE$: $$ |AE|=\sqrt{|AC|^2-|CE|^2}= \sqrt{36-\frac{27}{4}}=\frac{3\sqrt{13}}{2} $$
(3) Odtiaľ vypočítali dĺžku $AB$: $$ |AB|=|AE|-|BE|=\frac{3\sqrt{13}-3}{2} $$
Monika pokračovala takto: (4) Usúdila, že ak je úsečka $CD$ osou $\measuredangle ABC$, musí rozpoliť aj protiľahlú stranu $AB$: $$ |DB|=\frac{1}{2} |AB|=\frac{3\sqrt{13}-3}{4} $$
Ester pokračovala takto: (4') Odôvodnila, že os uhla v trojuholníku rozdeľuje protiľahlú stranu v pomere priľahlých strán uhla, t. j. Teda $$ \frac{|AD|}{|DB|} =\frac{|AC|}{|BC|} =2 $$
(5') Z toho vyplýva $$ \begin{gather} |AD|=2|DB| \cr |DB|=\frac13 |AB|=\frac{3\sqrt{13}-3}{6} \end{gather} $$ Tu je niekoľko komentárov. Ktorý z nich je nesprávny?
Ester úlohu vyriešila nesprávne. Strany mali byť v pomere: $$\frac{|AD|}{|DB|} =\frac{|BC|}{|AC|} =\frac{1}{2}$$
Monika urobila chybu v kroku (4). Nie vždy platí, že os uhla prechádza stredom protiľahlej strany.
Ester predložila správne riešenie.
Monika predviedla nesprávne riešenie.
