Monika i Ester rozwiązały następujący przykład:
W trójkącie $ABC$ miara $\measuredangle ABC$ wynosi $120^{\circ}$, $|AC|=6$ i $|BC|=3$. Odcinek $CD$ jest symetralną odcinka $\measuredangle ACB$. Oblicz długość odcinka $DB$.
Obie zaczęły od obrazka:
Następnie skonstruowały prostą prostopadłą do prostej $AB$ przechodzącą przez punkt $C$. W ten sposób otrzymały trójkąt prostokątny $BEC$ o kątach ostrych $30^{\circ}$, $60^{\circ}$ i przeciwprostokątnej $|BC|=3$.
(1) Łatwo było wyznaczyć długości boków $BE$ i $CE$: $$ \begin{gather} |BE|=|BC|\cdot \cos 60^{\circ} =\frac32 \cr |CE|=|BC|\cdot \sin 60^{\circ} =\frac{3\sqrt3}{2}
\end{gather} $$
(2) Następnie wykorzystały twierdzenie Pitagorasa do obliczenia długości odcinka $AE$: $$ |AE|=\sqrt{|AC|^2-|CE|^2}= \sqrt{36-\frac{27}{4}}=\frac{3\sqrt{13}}{2} $$ (3) Stamtąd obliczyły długość $AB$: $$ |AB|=|AE|-|BE|=\frac{3\sqrt{13}-3}{2} $$ Monika kontynuowała w ten sposób:
(4) Wywnioskowała, że jeśli odcinek $CD$ jest dwusieczną kąta, to musi również przecinać przeciwległy bok $AB$: $$ |DB|=\frac{1}{2} |AB|=\frac{3\sqrt{13}-3}{4} $$.
Ester kontynuowała w następujący sposób:
(4') Uzasadniła, że dwusieczna kąta dowolnego kąta trójkąta dzieli przeciwległy bok w stosunku boków zawierających kąt, tj. $$ \frac{|AD|}{|DB|} =\frac{|AC|}{|BC|} =2 $$.
(5') Stąd $$ \begin{gather} |AD|=2|DB| \cr |DB|=\frac13 |AB|=\frac{3\sqrt{13}-3}{6} \end{gather} $$.
Oto kilka komentarzy. Który z nich jest błędny?
Ester pokazała złe rozwiązanie. Powinno ono brzmieć: $$\frac{|AD|}{|DB|} =\frac{|BC|}{|AC|} =\frac{1}{2}$$.
Monika popełniła błąd w kroku (4). Nie zawsze jest prawdą, że dwusieczna kąta przechodzi przez środek przeciwległego boku.
Ester przedstawiła prawidłowe rozwiązanie.
Monika zademonstrowała złe rozwiązanie.
