Monika y Ester resolvieron el siguiente ejercicio:
En un triángulo $ABC$, la medida de $\measuredangle ABC$ es $120^{\circ}$, $|AC|=6$, y $|BC|=3$. El segmento $CD$ es la bisectriz del ángulo $\measuredangle ACB$. Calcula la longitud de $DB$.
Ambas comenzaron con la siguiente imagen:
Luego, construyeron una recta perpendicular a la recta $AB$ por el punto $C$. De este modo, obtuvieron un triángulo rectángulo $BEC$ con ángulos agudos de $30^{\circ}$ y $60^{\circ}$, y la hipotenusa $|BC|=3$.
(1) Fue sencillo determinar la longitud de los lados $BE$ y $CE$:
$$
\begin{gather}
|BE|=|BC|\cdot \cos 60^{\circ} =\frac32 \cr
|CE|=|BC|\cdot \sin 60^{\circ} =\frac{3\sqrt3}{2}
\end{gather}
$$
(2) Luego, usaron el teorema de Pitágoras para calcular la longitud de $AE$: $$ |AE|=\sqrt{|AC|^2-|CE|^2}= \sqrt{36-\frac{27}{4}}=\frac{3\sqrt{13}}{2} $$ (3) A partir de ahí, calcularon la longitud de $AB$: $$ |AB|=|AE|-|BE|=\frac{3\sqrt{13}-3}{2} $$
Monika continuó de la siguiente forma:
(4) Razonó que si la recta del segmento $CD$ es una bisectriz, también debe dividir a la mitad el lado opuesto $AB$: $$ |DB|=\frac{1}{2} |AB|=\frac{3\sqrt{13}-3}{4} $$
Ester continuó de la siguiente manera:
(4') Razonó que la bisectriz de cualquier ángulo de un triángulo divide al lado opuesto en la razón de los dos lados que forman dicho ángulo, i.e. $$ \frac{|AD|}{|DB|} =\frac{|AC|}{|BC|} =2 $$
(5') Por lo tanto $$ \begin{gather} |AD|=2|DB| \cr |DB|=\frac13 |AB|=\frac{3\sqrt{13}-3}{6} \end{gather} $$
A continuación se muestran algunos comentarios. ¿Cuál es incorrecto?
Ester demostró una solución errónea. Debería haber sido: $$\frac{|AD|}{|DB|} =\frac{|BC|}{|AC|} =\frac{1}{2}$$
Monika cometió un error en el paso (4). No siempre es verdad que la bisectriz de un ángulo pase por el punto medio del lado opuesto.
Ester presentó la solución correcta.
Monika demostró una solución errónea.
