Peter mal vyriešiť logaritmickú rovnicu: $$ (\log{x} )^2+9 \log{x}=0 $$ Po odovzdaní mu učiteľ povedal, že v riešení urobil závažnú chybu a požiadal ho, aby ju našiel. Pozrime sa, na jeho riešenie a pokúsme sa identifikovať chybu:
(1) Peter najprv stanovil podmienku pre $x$: $$ x>0 $$
(2) Zavedením substitúcie $\log{x}=t$ získal kvadratickú rovnicu: $$ t^2+9t=0 $$
(3) Celú rovnicu vydelil číslom $t$ a dostal tvar: $$ t+9=0 $$
(4) Riešenie je potom: $$ t=-9 $$
(5) Spätným dosadením do substitúcie získal rovnicu: $$ \log{x}=-9 $$ a pomocou definície logaritmu získal riešenie: $$ x=10^{-9} $$
(6) Nakoniec Peter overil svoje riešenie vykonaním skúšky: $$ L=(\log{10^{-9} })^2+9 \log{10^{-9}}=(-9 \log{10})^2+9 \cdot (-9) \log{10}=81-81=0,~ $$ $$ P=0, ~ P=L $$ V ktorom kroku nastala chyba?
Chyba je v kroku (1). Správna podmienka riešiteľnosti by mala byť $x\geq0$.
Chyba je v kroku (3). Delením $t$ Peter stratil jedno riešenie.
Chyba je v kroku (4). Koreň $-9$ je záporný, a preto nespĺňa podmienku riešiteľnosti. To znamená, že rovnica nemá riešenie.
Chyba je v kroku (5). Rovnicu $\log{x}=-9$ nemožno previesť na $x=10^{-9}$.
Chyba je v kroku (6). Ľavá strana skúšky rovnice je nesprávne upravená. Má byť $L=81+81=162$.
Správne riešenie rovnice $$ (\log {x} )^2+9 \log{x}=0 $$ začína určením podmienky logaritmu ($x>0$) a zavedením substitúcie $\log{x}=t$. Po použití substitúcie dostaneme (neúplnú) kvadratickú rovnicu $t^2+9t=0$, ktorú môžeme vyriešiť vyňatím $t$ v ľavej časti rovnice: $$ t(t+9)=0.$$ Teraz si uvedomíme, že súčin je rovný nule vtedy a len vtedy, ak aspoň jeden z činiteľov je nulový. To znamená, že $t=0$ alebo $t+9=0$. Takže substitučné korene sú $t=0$ a $t=-9$.
Teraz sa vrátime k substitúcii $\log{x} =t$:
a) $t=0 \Rightarrow \log{x} =0 \Rightarrow x=1$
b) $t=-9 \Rightarrow \log{x} =-9 \Rightarrow x=10^{-9}$
Rovnica má dve riešenia $x=1$ a $x=10^{-9}$.