Peter miał rozwiązać równanie logarytmiczne: $$ (\log{x} )^2+9 \log{x}=0 $$ Po oddaniu pracy nauczyciel powiedział mu, że popełnił poważny błąd w swoim rozwiązaniu i poprosił go o jego znalezienie. Przyjrzyjmy się jego rozwiązaniu i spróbujmy zidentyfikować błąd: (1) Na początku Peter ustalił warunek dla $x$: $$ x>0 $$
(2) Przez wprowadzenie podstawienia $\log{x}=t$, uzyskał równanie kwadratowe: $$ t^2+9t=0 $$
(3) Podzielił całe równanie przez $t$ i przekształcił go do postaci: $$ t+9=0 $$
(4) Rozwiązanie jest następujące: $$ t=-9 $$
(5) Podstawiając z powrotem do podstawienia, uzyskał równanie: $$ \log{x}=-9 $$ i korzystając z definicji logarytmu, uzyskał rozwiązanie: $$ x=10^{-9} $$
(6) Na koniec Peter zweryfikował swoje rozwiązanie, wykonując sprawdzenie: $$ L=(\log{10^{-9} })^2+9 \log{10^{-9}}=(-9 \log{10})^2+9 \cdot (-9) \log{10}=81-81=0,~ $$ $$ P=0, ~ P=L $$ W którym kroku wystąpił błąd?
Błąd występuje w kroku (1). Prawidłowy warunek rozwiązywalności powinien brzmieć $x\geq0$.
Błąd występuje w kroku (3). Dzieląc przez $t$, Peter zgubił jedno rozwiązanie.
Błąd znajduje się w kroku (4). Nie spełnia on warunku rozwiązywalności. Oznacza to, że równanie nie ma rozwiązania.
Błąd występuje w kroku (5). Równanie $\log{x}=-9$ nie może zostać przekształcone na $x=10^{-9}$.
Błąd występuje w kroku (6). Lewa strona równania jest nieprawidłowo zmodyfikowana. Powinno być $L=81+81=162$.
Prawidłowe rozwiązanie równania $$ (\log {x} )^2+9 \log{x}=0 $$ rozpoczyna się od określenia dziedziny logarytmu ($x>0$) i wprowadzenia podstawienia $\log{x}=t$. Po zastosowaniu podstawienia otrzymujemy (niekompletne) równanie kwadratowe $t^2+9t=0$, które można rozwiązać poprzez faktoryzację $t$ z lewej strony równania: $$ t(t+9)=0 $$ Teraz uświadommy sobie, że iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero. To znaczy, $t=0$ or $t+9=0$. Zatem pierwiastki podstawienia są następujące$t=0$ and $t=-9$.
Teraz wracamy do podstawienia $\log{x} =t$:
a) $t=0 \Rightarrow \log{x} =0 \Rightarrow x=1$
b) $t=-9 \Rightarrow \log{x} =-9 \Rightarrow x=10^{-9}$
Równanie ma dwa rozwiązania $x=1$ and $x=10^{-9}$.