Pedro tuvo que solucionar una ecuación logarítmica: $$ (\log{x} )^2+9 \log{x}=0 $$ Después de entregarla, el profesor le dijo que había cometido un grave error en su solución y le pidió que lo encontrara. Veamos su solución e intentemos identificar el error:
(1) Al principio, Pedro puso la condición del dominio de definición del logaritmo para $x$: $$ x>0 $$
(2) Con el cambio de variable $\log{x}=t$, obtuvo una ecuación cuadrática: $$ t^2+9t=0 $$
(3) Dividió toda la ecuación por $t$ y la reordenó obteniendo: $$ t+9=0 $$
(4) La solución es entonces: $$ t=-9 $$
(5) Volviendo a la sustitución, obtuvo la ecuación: $$ \log{x}=-9 $$ y utilizando la definición del logaritmo, obtuvo la solución: $$ x=10^{-9} $$
(6) Por último, Pedro verificó su solución realizando una comprobación: $$ I=(\log{10^{-9} })^2+9 \log{10^{-9}}=(-9 \log{10})^2+9 \cdot (-9) \log{10}=81-81=0,~ $$ $$ D=0, ~ D=I $$ ¿En qué paso cometió el error?
El error está en el paso (1). La condición del dominio de definición correcta debería ser $x\geq0$.
El error está en el paso (3). Dividiendo por $t$, Pedro perdió una solución.
El error está en el paso (4). La raíz $–9$ es negativa y, por tanto, no cumple la condición del dominio de definición del logaritmo. Esto implica que la ecuación no tiene solución.
El error está en el paso (5). La ecuación $\log{x}=-9$ no se puede convertir en $x=10^{-9}$.
El error está en el paso (6). El lado izquierdo de la ecuación no está correctamente modificado. Debería ser $I=81+81=162$.
La solución correcta de la ecuación $$ (\log {x} )^2+9 \log{x}=0 $$ empieza por determinar el dominio de definición del logaritmo ($x>0$) e introducir el cambio de variable $\log{x}=t$. Tras utilizar esta sustitución, obtenemos la ecuación cuadrática (incompleta) $t^2+9t=0$, que puede resolverse factorizando $t$ en el lado izquierdo de la ecuación: $$ t(t+9)=0 $$ Ahora, démonos cuenta de que el producto es igual a cero sólo en el caso de que al menos uno de los factores sea cero. Es decir, $t=0$ o $t+9=0$. Por lo tanto, las raíces de sustitución son $t=0$ y $t=-9$.
Ahora, volvemos a la sustitución $\log{x} =t$:
a) $t=0 \Rightarrow \log{x} =0 \Rightarrow x=1$
b) $t=-9 \Rightarrow \log{x} =-9 \Rightarrow x=10^{-9}$
La ecuación tiene dos soluciones $x=1$ y $x=10^{-9}$.