Petr měl řešit logaritmickou rovnici: $$ (\log{x} )^2+9 \log{x}=0 $$ Po jejím vyřešení mu učitel řekl, že při výpočtu udělal závažnou chybu. Vyzval Petra, aby ji našel. Podívejme se na jeho postup řešení a pokusme se identifikovat chybu.
(1) Petr nejprve stanovil podmínky pro $x$: $$ x>0 $$
(2) Zavedením substituce $\log{x}=t$ získal kvadratickou rovnici: $$ t^2+9t=0 $$
(3) Celou rovnici vydělil výrazem $t$ a upravil do tvaru: $$ t+9=0 $$
(4) Pak řešením bylo: $$ t=-9 $$
(5) Zpětným dosažením do substituční rovnice získal rovnici : $$ \log{x}=-9 $$ a použitím definice logaritmu získal řešení: $$ x=10^{-9} $$
(6) Nakonec Petr řešení ověřil provedením zkoušky: $$ L=(\log{10^{-9} })^2+9 \log{10^{-9}}=(-9 \log{10})^2+9 \cdot (-9) \log{10}=81-81=0,~ $$ $$ P=0, ~ P=L $$ Ve kterém kroku chybu udělal?
Chyba je v kroku (1). Správná podmínka řešitelnosti by měla být $x\geq0$.
Chyba je v kroku (3). Dělením výrazem $t$ ztratil Petr jedno řešení.
Chyba je v kroku (4). Kořen $–9$ je záporný, a proto nesplňuje podmnínky řešitelnosti. Znamená to, že rovnice nemá řešení.
Chyba je v kroku (5). Rovnici $\log{x}=-9$ nelze upravit na $x=10^{-9}$.
Chyba je v kroku (6). Levá strana při zkoušce je chybně upravena. Správně by mělo na levé straně být $L=81+81=162$.
Správné řešení rovnice $$ (\log {x} )^2+9 \log{x}=0 $$ začíná určením podmínky existence logaritmu ($x>0$) a zavedením substituce $\log{x}=t$. Po užití substituce získáme (neúplnou) kvadratickou rovnici $t^2+9t=0$, kterou lze řešit vytknutím výrazu $t$ na levé straně rovnice: $$ t(t+9)=0 $$ Nyní je třeba si uvědomit, že součin je roven nule právě tehdy, když alespoń jeden činitel je nula. To znamená, že $t=0$ nebo $t+9=0$. Kořeny substituce jsou tedy $t=0$ a $t=-9$.
Nyní se vrátíme k substituci $\log{x} =t$:
a) $t=0 \Rightarrow \log{x} =0 \Rightarrow x=1$
b) $t=-9 \Rightarrow \log{x} =-9 \Rightarrow x=10^{-9}$
Rovnice má dvě řešení $x=1$ a $x=10^{-9}$.