Študent Richard vyriešil veľmi jednoduchú exponenciálnu rovnicu $$ 2 \cdot 3^x=6 $$ nasledujúcim spôsobom.
(1) Upravil ľavú stranu a získal: $$ 6^x=6 $$
(2) Keďže sa rovnajú základy na obidvoch stranách rovnice, tak sa rovnajú aj exponenty. Preto $$ x=1. $$ Urobil niekde chybu? Ak áno, uveďte kde.
Áno. Chyba je v kroku (1). Vo všeobecnosti neplatí rovnica $a \cdot b^n=(a \cdot b)^n$.
Preto nie je možné napísať $2 \cdot 3^x=(2 \cdot 3)^x=6^x$.
Nie. Výpočet je správny.
Áno, chýba skúška. Skúška je povinnou súčasťou riešenia exponenciálnej rovnice.
Áno. Chyba je v kroku (2). Študent si nevšimol, že rovnica $6^x=6$ má dve riešenia, $x=1$ a $x=0$.
Ukážeme správne riešenie rovnice: $$2 \cdot 3^x=6$$
Rovnicu vydelíme číslom $2$ a dostaneme: $$ 3^x=3 $$ Keďže sa rovnajú základy na obidvoch stranách tak sa rovnajú aj ich exponenty. Dostaneme teda: $$ x=1 $$ Poznámka: Skúška nie je potrebná. V tomto prípade sú všetky vykonané kroky ekvivalentné a nemení sa množina riešení.