Traja študenti Eva, Alex a Mária vyriešili rovnicu $$ 1+\frac{3}{x}+\frac{9}{x^2}+\frac{27}{x^3}+\dots=\frac{x+1}{x}$$ Ľavá strana danej rovnice je nekonečný geometrický rad. Každý z nich vyriešil rovnicu vlastným spôsobom.
Eva najprv vynásobila obe strany rovnice výrazom $\frac{x}{3}$ a dostala: $$ \frac{x}{3}+1+\frac{3}{x}+\frac{9}{x^2}+\frac{27}{x^3}+⋯=\frac{x+1}{3}$$ Potom použitím sčitovacej metódy pre obe rovnice dostala: $$ \frac{x}{3}+\frac{x+1}{x}=\frac{x+1}{3}$$ Nakoniec vyriešila uvedenú rovnicu: $$ x^2+3x+3=x^2 + x\iff 2x=-3 \iff x=-\frac32 $$ Eva zistila, že rovnica má riešenie $x=-\frac32$.
Alex použil vzorec pre súčet nekonečného geometrického radu a dostal: $$ \frac{1}{1-\frac{3}{x}}=\frac{x+1}{x}$$ Rovnicu vyriešil: $$ \begin{align} \frac{1}{\frac{x-3}{x}}=\frac{x+1}{x}\cr \frac{x}{x-3}=\frac{x+1}{x}\cr x^2=x^2-2x-3\cr x=-\frac32 \end{align} $$ Alexovi vyšlo riešenie $x=-\frac32$.
Mária najprv vynásobila obe strany rovnice výrazom $\frac{3}{x}$ a dostala: $$ \frac3x+\frac9{x^2}+\frac{27}{x^3}+\dots =\frac{3x+3}{x^2}$$ Potom použitím sčitovacej metódy pre obe rovnice dostala a získanú rovnicu ďalej riešila: $$ \begin{align} \frac{x+1}{x}-1=\frac{3x+3}{x^2} \cr x^2+x-x^2=3x+3 \cr x=-\frac32 \end{align} $$ Mária zistila, že rovnica má riešenie $x=-\frac32$.
Kto postupoval pri riešení rovnice správne?
Nikto
Mária
Eva
Alex
Všetci
Výraz na ľavej strane rovnice je nekonečný geometrický rad s kvocientom $q=\frac3{x}$. Konvergencia nekonečného geometrického radu závisí od hodnoty kvocientu. Rad konverguje, keď $|q|< 1$.
V našom prípade $$|q|< 1 \iff \left|\frac3{x}\right|< 1 \iff x \in(-\infty;-3) \cup (3;+\infty)$$
Pre $x=-\frac32$ je rad divergentný, a preto nemôže konvergovať k hodnote, ktorú predstavuje výraz na pravej strane rovnice. Daná rovnica teda nemá riešenie.