Tři studentky Eva, Alex a Marie řešily rovnici: $$ 1+\frac{3}{x}+\frac{9}{x^2}+\frac{27}{x^3}+\dots=\frac{x+1}{x} $$ na jejíž levé straně je nekonečná geometrická řada. Každá z nich řešila rovnici jinak.
Eva nejprve vynásobila obě strany rovnice výrazem $\frac{x}{3}$: $$ \frac{x}{3}+1+\frac{3}{x}+\frac{9}{x^2}+\frac{27}{x^3}+⋯=\frac{x+1}{3} $$ a pak, porovnáním obou rovnic, získala: $$ \frac{x}{3}+\frac{x+1}{x}=\frac{x+1}{3} $$ Na závěr tuto rovnici dořešila: $$ x^2+3x+3=x^2 + x\iff 2x=−3 \iff x=-\frac32 $$ Eva tak získala řešení $x=-\frac32$.
Alex použila vzorec pro součet nekonečné geometrické řady: $$ \frac{1}{1-\frac{3}{x}}=\frac{x+1}{x} $$ Řešením této rovnice získala: $$ \begin{align} \frac{1}{\frac{x-3}{x}}=\frac{x+1}{x}\cr \frac{x}{x-3}=\frac{x+1}{x}\cr x^2=x^2-2x−3\cr x=-\frac32 \end{align} $$ Alex také došla k řešení $x=-\frac32$.
Marie nejprve vynásobila obě strany rovnice výrazem $\frac{3}{x}$: $$ \frac3x+\frac9{x^2}+\frac{27}{x^3}+\dots =\frac{3x+3}{x^2} $$ a pak, porovnáním obou rovnic získala: $$ \begin{align} \frac{x+1}{x}−1=\frac{3x+3}{x^2} \cr x^2+x−x^2=3x+3 \cr x=-\frac32 \end{align} $$ Marii tak vyšlo řešení $x=-\frac32$.
Která z dívek postupovala při řešení rovnice správně?
Ani jedna z nich.
Marie
Eva
Alex
Všechny tři.
Na levé straně rovnice je nekonečná geometrická řada s kvocientem $q=\frac3{x}$. Konvergence nekonečné geometrické řady závisí na hodnotě jejího kvocientu. Řada konverguje, pokud $|q|< 1$.
V našem případě, $$|q|< 1 \iff \left|\frac3{x}\right|< 1 \iff x \in(-\infty;-3) \cup (3;+\infty)$$
Pro $x=-\frac32$ je řada divergentní a nemůže konvergovat k hodnotě dané výrazem na pravé straně rovnice. Daná rovnice tedy nemá řešení.