Trzech uczniów: Ewa, Alek i Maria rozwiązali równanie: $$ 1+\frac{3}{x}+\frac{9}{x^2}+\frac{27}{x^3}+\dots=\frac{x+1}{x} $$ gdzie lewa strona jest nieskończonym ciągiem geometrycznym. Każdy z nich rozwiązał równanie na swój sposób.
Ewa najpierw pomnożyła obie strony równania przez $\frac{x}{3}$: $$ \frac{x}{3}+1+\frac{3}{x}+\frac{9}{x^2}+\frac{27}{x^3}+⋯=\frac{x+1}{3} $$ a następnie, porównując oba równania, otrzymała: $$ \frac{x}{3}+\frac{x+1}{x}=\frac{x+1}{3} $$ Na koniec rozwiązała powyższe równanie: $$ x^2+3x+3=x^2 + x\iff 2x=−3 \iff x=-\frac32 $$ Ewa zobaczyła, że równanie ma rozwiązanie $x=-\frac32$.
Alek użył wzoru na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego: $$ \frac{1}{1-\frac{3}{x}}=\frac{x+1}{x} $$ I rozwiązując powyższe równanie otrzymał: $$ \begin{align} \frac{1}{\frac{x-3}{x}}=\frac{x+1}{x}\cr \frac{x}{x-3}=\frac{x+1}{x}\cr x^2=x^2-2x−3\cr x=-\frac32 \end{align} $$ Alek również dostał rozwiązanie $x=-\frac32$.
Maria najpierw pomnożyła obie strony równania przez $\frac{3}{x}$: $$ \frac3x+\frac9{x^2}+\frac{27}{x^3}+\dots =\frac{3x+3}{x^2} $$ a następnie porównując oba równania otrzymała: $$ \begin{align} \frac{x+1}{x}−1=\frac{3x+3}{x^2} \cr x^2+x−x^2=3x+3 \cr x=-\frac32 \end{align} $$ Maria odkryła, że równanie ma rozwiązanie $x=-\frac32$.
Kto postąpił prawidłowo przy rozwiązywaniu równania?
Żaden z nich
Maria
Ewa
Alek
Wszyscy trzej
Wyrażenie po lewej stronie równania jest nieskończonym szeregiem geometrycznym o ilorazie $q=\frac3{x}$. Zbieżność nieskończonego szeregu geometrycznego zależy od wartości jego ilorazu. Szereg jest zbieżny, gdy $|q|< 1$.
W naszym przypadku, $$|q|< 1 \iff \left|\frac3{x}\right|< 1 \iff x \in(-\infty;-3) \cup (3;+\infty)$$
Dla $x=-\frac32$ , szereg jest rozbieżny i dlatego nie może zbiegać się do wartości reprezentowanej przez wyrażenie po prawej stronie równania. Zatem podane równanie nie ma rozwiązania.