Tres estudiantes, Eva, Alex y Mary, solucionaron la ecuación: $$ 1+\frac{3}{x}+\frac{9}{x^2}+\frac{27}{x^3}+\dots=\frac{x+1}{x} $$ donde el lado izquierdo es una serie geométrica infinita. Cada uno de ellos solucionó la ecuación de su manera.
Eva primero multiplicó ambos lados de la ecuación por $\frac{x}{3}$: $$ \frac{x}{3}+1+\frac{3}{x}+\frac{9}{x^2}+\frac{27}{x^3}+⋯=\frac{x+1}{3} $$ y luego, comparando ambas ecuaciones, obtuvo: $$ \frac{x}{3}+\frac{x+1}{x}=\frac{x+1}{3} $$ Por último, solucionó la ecuación anterior: $$ x^2+3x+3=x^2 + x\iff 2x=-3 \iff x=-\frac32 $$ Eva comprobó que la ecuación tiene la solución $x=-\frac32$.
Alex utilizó la fórmula de la suma de una serie geométrica infinita: $$ \frac{1}{1-\frac{3}{x}}=\frac{x+1}{x} $$ Y solucionando la ecuación anterior, obtuvo: $$ \begin{align} \frac{1}{\frac{x-3}{x}}=\frac{x+1}{x}\cr \frac{x}{x-3}=\frac{x+1}{x}\cr x^2=x^2-2x−3\cr x=-\frac32 \end{align} $$ Alex también obtuvo la solución $x=-\frac32$.
Mary primero multiplicó ambos lados de la ecuación por $\frac{3}{x}$: $$ \frac3x+\frac9{x^2}+\frac{27}{x^3}+\dots =\frac{3x+3}{x^2} $$ y luego, comparando ambas ecuaciones, obtuvo: $$ \begin{align} \frac{x+1}{x}−1=\frac{3x+3}{x^2} \cr x^2+x−x^2=3x+3 \cr x=-\frac32 \end{align} $$ Mary encontró que la ecuación tiene la solución $x=-\frac32$.
¿Quién procedió correctamente al solucionar la ecuación?
Ninguno de ellos
Mary
Eva
Alex
Todos
La expresión del lado izquierdo de la ecuación es una serie geométrica infinita con la razón común $q=\frac3{x}$. La convergencia de una serie geométrica infinita depende del valor de su razón común. La serie converge cuando $|q|< 1$.
En nuestro caso, $$|q|< 1 \iff \left|\frac3{x}\right|< 1 \iff x \in(-\infty;-3) \cup (3;+\infty)$$
Para $x=-\frac32$ , la serie es divergente y por lo tanto no puede converger al valor representado por la expresión en el lado derecho de la ecuación. Por lo tanto, la ecuación dada no tiene solución.