Dané sú body $A=[2;-3]$, $B=[8;1]$ a $T=[6;4]$. Nájdite súradnice vrcholu $C$ trojuholníka $ABC$ s ťažiskom $T$.
Pavlove riešenie:
(1) Ťažnica $t_c$ trojuholníka $ABC$ je úsečka spájajúca vrchol $C$ a stred $S$ protiľahlej strany (viď obrázok). Preto $S=\frac12(A+B)=[5;-1]$.
(2) $\overrightarrow{ST}=T-S=(1;5)$.
(3) Ťažisko $T$ rozdeľuje ťažnicu $t_C=SC$ v pomere $1:2$, preto $\overrightarrow{SC}=2\overrightarrow{ST}=(2;10)$.
(4) $\overrightarrow{SC}=C-S$, preto $\mathbf{C=}S+\overrightarrow{SC}=\mathbf{[7;9]}.$
Pavlove riešenie je chybné. Kde Pavol urobil vo svojom postupe chybu?
Chyba je v kroku (1). Správne súradnice bodu $S$: $S=\frac12(B-A)=[3;2]$.
Chyba je v kroku (2). Správny vektor $\overrightarrow{ST}$ by mal byť $\overrightarrow{ST}=(1;3)$.
Chyba je v kroku (4). Pre vektor $\overrightarrow{SC}$ platí vzťah $\overrightarrow{SC}=3\overrightarrow{ST}=(3;15)$.
Chyba je v kroku (5). Správne súradnice bodu $C$: $\mathbf{C=}S-\overrightarrow{SC}=\mathbf{[3;-11]}$.
(1) Ťažnica $t_c$ trojuholníka $ABC$ je úsečka spájajúca vrchol $C$ a stred $S$ of protiľahlej strany (viď obrázok). Preto $S=\frac12(A+B)=[5;-1]$.
(2) $\overrightarrow{ST}=T-S=(1;5)$.
(3) Ťažisko $T$ rozdeľuje ťažnicu $t_C=SC$ v pomere $1:2$. Preto $\overrightarrow{SC}=3\overrightarrow{ST}=(3;15)$.
(4) $\overrightarrow{SC}=C-S$, preto $\mathbf{C}=S+\overrightarrow{SC}=\mathbf{[8;14]}.$