Biorąc pod uwagę punkty $A=[2;-3]$, $B=[8;1]$, i $T=[6;4]$, znajdź współrzędne wierzchołka $C$ trójkąta $ABC$ z centralnym punktem $T$.
Rozwiązanie Paula:
(1) Środkowa $t_c$ trójkąta $ABC$ jest odcinkiem łączącym wierzchołek $C$ oraz punkt środkowy $S$ przeciwległego boku (patrz rysunek). Dlatego, $S=\frac12(A+B)=[5;-1]$.
(2) $\overrightarrow{ST}=T-S=(1;5)$.
(3) Centralny punkt $T$ dzieli środkową $t_C=SC$ w stosunku $1:2$. Zatem $\overrightarrow{SC}=2\overrightarrow{ST}=(2;10)$.
(4) $\overrightarrow{SC}=C-S$; zatem $\mathbf{C=}S+\overrightarrow{SC}=\mathbf{[7;9]}.$
Rozwiązanie Paula nie jest poprawne. Gdzie Paul popełnił błąd w swojej procedurze?
Błąd tkwi w kroku (1). Prawidłowe obliczenie współrzędnych punktu $S$ jest $S=\frac12(B-A)=[3;2]$.
Błąd tkwi w kroku (2). Wektor $\overrightarrow{ST}$ powinno być $\overrightarrow{ST}=(1;3)$.
Błąd tkwi w kroku (4). Wektor $\overrightarrow{SC}$ jest określona jako $\overrightarrow{SC}=3\overrightarrow{ST}=(3;15)$.
Błąd występuje w kroku (5). Prawidłowe obliczenie współrzędnych punktu $C$ jest $\mathbf{C=}S-\overrightarrow{SC}=\mathbf{[3;-11]}$.
(1) Srodkowa $t_c$ trójkąta $ABC$ jest odcinkiem łączącym wierzchołek $C$ i punkt środkowy $S$ przeciwległego boku (patrz rysunek). Dlatego, $S=\frac12(A+B)=[5;-1]$.
(2) $\overrightarrow{ST}=T-S=(1;5)$.
(3) Punkt środkowy $T$ dzieli środkową $t_C=SC$ w stosunku $1:2$. Zatem $\overrightarrow{SC}=3\overrightarrow{ST}=(3;15)$.
(4) $\overrightarrow{SC}=C-S$; dlatego $\mathbf{C}=S+\overrightarrow{SC}=\mathbf{[8;14]}.$