Dados los puntos $A=[2;-3]$, $B=[8;1]$ y $T=[6;4]$, halla las coordenadas del vértice $C$ del triángulo $ABC$ con centroide (baricentro) $T$.
Resolución de Paul:
(1) La mediana $t_c$ del triángulo $ABC$ es el segmento que une el vértice $C$ y el punto medio $S$ del lado opuesto (ver la imagen). Por lo tanto, $S=\frac12(A+B)=[5;-1]$.
(2) $\overrightarrow{ST}=T-S=(1;5)$.
(3) El centroide (baricentro) $T$ divide la mediana $t_C=SC$ en la razón $1:2$. Por lo tanto, $\overrightarrow{SC}=2\overrightarrow{ST}=(2;10)$.
(4) $\overrightarrow{SC}=C-S$; luego $\mathbf{C=}S+\overrightarrow{SC}=\mathbf{[7;9]}.$
La resolución de Paul no es correcta. ¿En qué parte del procedimiento ha cometido Paul un error?
El error está en el paso (1). El cálculo correcto de las coordenadas del punto $S$ es $S=\frac12(B-A)=[3;2]$.
El error está en el paso (2). El vector $\overrightarrow{ST}$ debería ser $\overrightarrow{ST}=(1;3)$.
El error está en el paso (4). El vector $\overrightarrow{SC}$ está definido como $\overrightarrow{SC}=3\overrightarrow{ST}=(3;15)$.
El error está en el paso (5). El cálculo correcto de las coordenadas del punto $C$ es $\mathbf{C=}S-\overrightarrow{SC}=\mathbf{[3;-11]}$.
(1) La mediana $t_c$ del triángulo $ABC$ es el segmento que une el vértice $C$ y el punto medio $S$ del lado opuesto (ver la imagen). Por lo tanto, $S=\frac12(A+B)=[5;-1]$.
(2) $\overrightarrow{ST}=T-S=(1;5)$.
(3) El centroide (baricentro) $T$ divide la mediana $t_C=SC$ en la razón $1:2$. Por lo tanto, $\overrightarrow{SC}=3\overrightarrow{ST}=(3;15)$.
(4) $\overrightarrow{SC}=C-S$; luego $\mathbf{C}=S+\overrightarrow{SC}=\mathbf{[8;14]}.$