Potęgi i pierwiastki liczb złożonych

1003118405

Część: 
C
Wszystkie rozwiązania równania \( x^6-4\sqrt3+4\mathrm{i} = 0 \) mogą być zaznaczone jako punkty w układzie współrzędnych. Jaka jest odległość dwóch najbardziej odległych punktów?
\( 2\sqrt2 \)
\( \sqrt2 \)
\( 2\sqrt[3]4 \)
\( \sqrt[3]4 \)
\( 2\sqrt3 \)
\( \sqrt3 \)

1103118404

Część: 
C
Dane jest równanie \( x^n+b=0 \), gdzie \( n \) jest dodatnią liczbą naturalna, a \( b \) jest liczbą zespoloną. Na rysunku punkty oznaczone kolorem czarnym odpowiadają pierwiastkom równania. Wskaż równanie.
\( x^3 + 4\sqrt2 - 4\sqrt2\mathrm{i} = 0 \)
\( x^3 + 4\sqrt2 +4\sqrt2\mathrm{i} = 0 \)
\( x^3 - 4\sqrt2 - 4\sqrt2\mathrm{i} = 0 \)
\( x^3 - 4\sqrt2 +4\sqrt2\mathrm{i} = 0 \)

1003118402

Część: 
C
Która z podanych liczb zespolonych nie jest pierwiastkiem równania \( x^6 + 8\mathrm{i} = 0 \)?
\( 1-\mathrm{i} \)
\( 1+\mathrm{i} \)
\( -1-\mathrm{i} \)
\( \sqrt2\left(\cos\frac{7\pi}{12}+\mathrm{i}\cdot\sin\frac{7\pi}{12}\right) \)
\( \sqrt2\left(\cos\frac{23\pi}{12}+\mathrm{i}\cdot\sin\frac{23\pi}{12}\right) \)

1003118401

Część: 
C
Wskaż zbiór rozwiązań równania \( x^3 - 8\mathrm{i} = 0 \) w zbiorze liczb zespolonych.
\( \left\{\sqrt3+\mathrm{i}; -\sqrt3+\mathrm{i};-2\mathrm{i} \right\} \)
\( \left\{ 2\mathrm{i}; -\sqrt3-\mathrm{i}; \sqrt3-\mathrm{i} \right\} \)
\( \left\{\frac{\sqrt3}2+\frac12\mathrm{i}; -\frac{\sqrt3}2+\frac12\mathrm{i};-\mathrm{i} \right\} \)
\( \left\{\mathrm{i};-\frac{\sqrt3}2-\frac12\mathrm{i}; \frac{\sqrt3}2-\frac12\mathrm{i} \right\} \)

1003123402

Część: 
A
Dana jest liczba zespolona \( b=\sqrt[3]2\cdot\left(\cos\frac56\pi+\mathrm{i}\cdot\sin\frac56\pi\right) \), wskaż postać trygonometryczną \( b^9 \).
\( 8\cdot\left(\cos\frac32\pi+\mathrm{i}\cdot\sin\frac32\pi\right) \)
\( 64\cdot\left(\cos\frac12\pi-\mathrm{i}\cdot\sin\frac12\pi\right) \)
\( 8\cdot\left(\cos\frac12\pi-\mathrm{i}\cdot\sin\frac12\pi\right) \)
\( 64\cdot\left(\cos\frac32\pi+\mathrm{i}\cdot\sin\frac32\pi\right) \)

1003123401

Część: 
A
Dana jest liczba zespolona \( a =\sqrt3\cdot\left( \cos 225^{\circ} + \mathrm{i}\cdot\sin 225^{\circ}\right) \), wskaż postać trygonometryczną \( a^6 \).
\( 27\cdot\left(\cos270^{\circ}+\mathrm{i}\cdot\sin270^{\circ}\right) \)
\( 9\cdot\left(\cos90^{\circ}+\mathrm{i}\cdot\sin90^{\circ}\right) \)
\( 27\cdot\left(\cos90^{\circ}+\mathrm{i}\cdot\sin90^{\circ}\right) \)
\( 9\cdot\left(\cos270^{\circ}+\mathrm{i}\cdot\sin270^{\circ}\right) \)

1003109305

Część: 
B
Rozwiąż równanie w zbiorze liczb zespolonych. (Rozwiąż równanie przez podstawienie.) \[ (2x + 3)^4 - 256 = 0 \]
\( \left\{-\frac72;\frac12;-\frac32\pm2\mathrm{i} \right\} \)
\( \left\{-\frac72;\frac12;\frac32\pm2\mathrm{i} \right\} \)
\( \left\{\frac72;-\frac12;\frac32\pm2\mathrm{i} \right\} \)
\( \left\{\frac72;-\frac12;-\frac32\pm2\mathrm{i} \right\} \)

1103109303

Część: 
B
Dane jest równanie \( x^n+b=0 \), gdzie \( n \) jest dodatnią liczbą całkowitą, a \( b \) jest liczbą rzeczywistą. Punkty odpowiadające pierwiastkom równania są oznaczone na rysunku kolorem czarnym. Wskaż równanie.
\( x^8 - 256 = 0 \)
\( x^8 + 256 = 0 \)
\( x^4 + 16 = 0 \)
\( x^4 - 16 = 0 \)
\( x^6 - 64 = 0 \)
\( x^6 + 64 = 0 \)