Potęgi i pierwiastki liczb złożonych

2000002109

Część: 
A
Dane \( z= \sqrt[3]{3} \left(\cos{\frac{3\pi}{4}}+i\sin{\frac{3\pi}{4}}\right) \), określ, która z poniższych liczb nie reprezentuje \( z^6\).
\( 9 \)
\( 9i \)
\( 9\left(\cos{\frac{9\pi}{2}}+i\sin{\frac{9\pi}{2}}\right) \)
\( 9\left(\cos{\frac{\pi}{2}}+i\sin{\frac{\pi}{2}}\right) \)

2000002108

Część: 
A
Niech \( \varphi\) będzie argumentem głównym, \( (-\pi < \varphi\leq \pi) \), liczby zespolonej. Znajdź argument główny \( \varphi\) liczby \( \left(3\left(\cos{\frac{3\pi}{2} }+ i\sin{\frac{3\pi}{2} }\right)\right)^{13} \).
\( -\frac{\pi}{2} \)
\( \frac{\pi}{2} \)
\( 0 \)
\( \frac{3}{26}\pi \)

2000002102

Część: 
A
Rozważ \( z= \cos{\frac{\pi}{4}} + i\sin{\frac{\pi}{4}} \) i znajdź \(z^9\).
\( \cos{\frac{\pi}{4}} + i\sin{\frac{\pi}{4}} \)
\( 9 \left(\cos{\frac{\pi}{4}} + i\sin{\frac{\pi}{4}}\right) \)
\( \cos{\frac{9\pi}{4}} - i\sin{\frac{9\pi}{4}} \)
\( 9\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2} \right) \)

1003118406

Część: 
C
Wszystkie rozwiązania równania \( x^4+1+\sqrt3\mathrm{i} = 0 \) są liczbami zespolonymi, których argumenty należą do przedziału \( \langle0; 2\pi) \). Znajdź sumę argumentów wszystkich rozwiązań równania.
\( \frac{13}3\pi \)
\( 4\pi \)
\( \frac{25}6\pi \)
\( \frac92\pi \)