Dwie przyjaciółki, Majka i Martyna, usunęły niewymierność z ułamka
$$\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}.$$
Każda z nich zrobiła to na swój sposób.
Martina:
(1) Znalazła dwumian z przeciwnym znakiem środkowym $\sqrt2-\sqrt3$.
(2) Pomnożyła przez spójnik zarówno licznik, jak i mianownik ułamka. $$\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt2-\sqrt3}{\sqrt2-\sqrt3}$$
(3) Uprościła to wyrażenie: $$\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt2-\sqrt3}{\sqrt2-\sqrt3}=\frac{\sqrt2-\sqrt3}{\left(\sqrt2\right)^2-\left(\sqrt3\right)^2}=\frac{\sqrt2-\sqrt3}{2-3}=\frac{\sqrt2-\sqrt3}{-1}=\sqrt3-\sqrt2$$
Majka:
(1) Wykorzystała ona tożsamość mnożenia, aby sprowadzić ułamek do wspólnego mianownik. (Właściwość tożsamości mnożenia mówi, że gdy liczba jest mnożona przez $1$, iloczynem będzie sama liczba). $$\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}\cdot1=\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt2+\sqrt3}{\sqrt2+\sqrt3}$$
(2) Uprościła to wyrażenie: $$\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}\cdot \frac{\sqrt2+\sqrt3}{\sqrt2+\sqrt3}=\frac{\sqrt2+\sqrt3}{\left(\sqrt2\right)^2+\left(\sqrt3\right)^2}=\frac{\sqrt2+\sqrt3}{2+3}=\frac{\sqrt2+\sqrt3}{5}$$
Wybierz prawdziwe stwierdzenie.
Rozwiązanie Majki jest poprawne. Wszystkie kroki Majki są poprawne.
Rozwiązanie Majki jest nieprawidłowe. Błąd występuje w kroku (2). Iloczyn $\left(\sqrt2+\sqrt3\right)\left(\sqrt2+\sqrt3\right)$ nie jest równy $\left(\sqrt2\right)^2+\left(\sqrt3\right)^2$.
Rozwiązanie Martiny jest nieprawidłowe. Błąd występuje w kroku (2). Iloczyn $\left(\sqrt2+\sqrt3\right)\left(\sqrt2-\sqrt3\right)$ nie jest równy $\left(\sqrt2\right)^2-\left(\sqrt3\right)^2$.
Rozwiązanie Martiny jest nieprawidłowe. Błąd występuje w kroku (2), z powodu $$\frac{\sqrt2-\sqrt3}{-1}\neq\sqrt3-\sqrt2.$$
Rozwiązanie Martyny jest poprawne. Aby sprowadzić ułamek do wspólnego mianownika, użyła tożsamości multiplikatywnej. (Własność tożsamości mnożenia mówi, że gdy liczba jest mnożona przez $1$, iloczynem będzie sama liczba.) W naszym przypadku, $1$ jest zapisany jako ułamek, którego licznik i mianownik są zdefiniowane jako sprzężone z mianownikiem oryginalnego ułamka: $$\frac{\sqrt2-\sqrt3}{\sqrt2-\sqrt3}=1$$ Użyła również wzoru na różnicę kwadratów, który ma zastosowanie, gdy w mianowniku występuje dwumian: $$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$ W naszym przypadku: $$\left(\sqrt2+\sqrt3\right)\left(\sqrt2-\sqrt3\right)=\left(\sqrt2\right)^2-\left(\sqrt3\right)^2$$