Dos amigas, Majka y Martina, racionalizaron el denominador de la fracción
$$\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}.$$
Cada una lo racionalizó de una forma.
Martina:
(1) Buscó el conjugado del denominador (el mismo binomio con distinto signo en el medio). El conjugado de $\sqrt2+\sqrt3$ es $\sqrt2-\sqrt3$.
(2) Multiplicó el conjugado tanto por el numerador como por el denominador de la fracción. $$\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt2-\sqrt3}{\sqrt2-\sqrt3}$$
(3) Simplificó la expresión: $$\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt2-\sqrt3}{\sqrt2-\sqrt3}=\frac{\sqrt2-\sqrt3}{\left(\sqrt2\right)^2-\left(\sqrt3\right)^2}=\frac{\sqrt2-\sqrt3}{2-3}=\frac{\sqrt2-\sqrt3}{-1}=\sqrt3-\sqrt2$$
Majka:
(1) Utilizó la propiedad del elemento neutro de la multiplicación para racionalizar el denominador. (La propiedad del elemento neutro para la multiplicación establece que cuando se multiplica un número por $1$, el producto será el propio número.) $$\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}\cdot1=\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt2+\sqrt3}{\sqrt2+\sqrt3}$$
(2) Simplificó la expresión: $$\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}\cdot \frac{\sqrt2+\sqrt3}{\sqrt2+\sqrt3}=\frac{\sqrt2+\sqrt3}{\left(\sqrt2\right)^2+\left(\sqrt3\right)^2}=\frac{\sqrt2+\sqrt3}{2+3}=\frac{\sqrt2+\sqrt3}{5}$$
Seleccione la afirmación correcta.
La solución de Majka es correcta. Todos sus pasos están bien.
La solución de Majka no es correcta. El error está en el paso (2). El producto $\left(\sqrt2+\sqrt3\right)\left(\sqrt2+\sqrt3\right)$ no es igual a $\left(\sqrt2\right)^2+\left(\sqrt3\right)^2$.
La solución de Martina no es correcta. El error está en el paso (2). El producto $\left(\sqrt2+\sqrt3\right)\left(\sqrt2-\sqrt3\right)$ no es igual a $\left(\sqrt2\right)^2-\left(\sqrt3\right)^2$.
La solución de Martina no es correcta. El error está en el paso (2), porque $$\frac{\sqrt2-\sqrt3}{-1}\neq\sqrt3-\sqrt2.$$
La solución de Martina es correcta. Para racionalizar el denominador, usa la propiedad del elemento neutro para la multiplicación. (La propiedad del elemento neutro para la multiplicación establece que cuando se multiplica un número por $1$, el producto será el propio número.) En nuestro caso, $1$ está expresado como una fracción cuyos numerador y denominador están definidos como el conjugado del denominador de la fracción original: $$\frac{\sqrt2-\sqrt3}{\sqrt2-\sqrt3}=1$$ También utilizó la fórmula de la diferencia de cuadrados, aplicable cuando hay un binomio en el denominador: $$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$ En nuestro caso: $$\left(\sqrt2+\sqrt3\right)\left(\sqrt2-\sqrt3\right)=\left(\sqrt2\right)^2-\left(\sqrt3\right)^2$$