$\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}$

Project ID: 
3000000043
SubArea: 
Mocniny a odmocniny
Question: 

Dve kamarátky Majka a Martina usmerňovali zlomok

$$\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}.$$

Každá z nich usmernila zlomok svojím vlastným spôsobom.

Martina:

(1) Zobrala menovateľa $\sqrt2+\sqrt3$ a v tomto dvojčlene vymenila znamienko medzi odmocninami $\sqrt2-\sqrt3$.

(2) Vynásobila čitateľa aj menovateľa týmto dvojčlenom. $$\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt2-\sqrt3}{\sqrt2-\sqrt3}$$

(3) Výraz zjednodušila: $$\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt2-\sqrt3}{\sqrt2-\sqrt3}=\frac{\sqrt2-\sqrt3}{\left(\sqrt2\right)^2-\left(\sqrt3\right)^2}=\frac{\sqrt2-\sqrt3}{2-3}=\frac{\sqrt2-\sqrt3}{-1}=\sqrt3-\sqrt2$$

Majka:

(1) Na ostránenie odmocniny z menovateľa použila násobenie zlomku číslom $1$ v tvare, ktorý potrebovala. $$\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}\cdot1=\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt2+\sqrt3}{\sqrt2+\sqrt3}$$

(2) Výraz zjednodušila: $$\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}\cdot \frac{\sqrt2+\sqrt3}{\sqrt2+\sqrt3}=\frac{\sqrt2+\sqrt3}{\left(\sqrt2\right)^2+\left(\sqrt3\right)^2}=\frac{\sqrt2+\sqrt3}{2+3}=\frac{\sqrt2+\sqrt3}{5}$$

Vyberte pravdivé tvrdenie.

Answer 1: 

Majka má riešenie správne. Všetky kroky sú správne.

Answer 2: 

Majka má riešenie nesprávne. Chyba je v kroku (2). Súčin $\left(\sqrt2+\sqrt3\right)\left(\sqrt2+\sqrt3\right)$ sa nerovná $\left(\sqrt2\right)^2+\left(\sqrt3\right)^2$.

Answer 3: 

Martina má riešenie nesprávne. Chyba je v kroku (2). Súčin $\left(\sqrt2+\sqrt3\right)\left(\sqrt2-\sqrt3\right)$ sa nerovná $\left(\sqrt2\right)^2-\left(\sqrt3\right)^2$.

Answer 4: 

Martina má riešenie nesprávne. Chyba je v kroku (2), pretože $$\frac{\sqrt2-\sqrt3}{-1}\neq\sqrt3-\sqrt2.$$

Fixed Answer: 
All Fixed
Correct Answer: 
Answer 2
Hint: 

Martina má riešenie správne. Na odstránenie odmocniny z menovateľa použila násobenie jednotkou. (Keď číslo vynásobíme číslom $1$ súčinom bude samotné číslo.) V našom prípade je $1$ zapísaná ako zlomok, ktorého čitateľ aj menovateľ vznikol z pôvodného menovateľa vymenením znamienka medzi odmocninami: $$\frac{\sqrt2-\sqrt3}{\sqrt2-\sqrt3}=1$$ Použila tiež vzorec: $$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$ V našom prípade: $$\left(\sqrt2+\sqrt3\right)\left(\sqrt2-\sqrt3\right)=\left(\sqrt2\right)^2-\left(\sqrt3\right)^2$$