$\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}$

Project ID: 
3000000043
SubArea: 
Mocniny a odmocniny
Question: 

Dvě kamarádky Majka a Martina usměrňovaly zlomek

$$\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}.$$

Každá z nich usměrnila zlomek svým vlastním způsobem.

Martina:

(1) Ve jmenovateli $\sqrt2+\sqrt3$ vyměnila znaménko mezi odmocninami: $\sqrt2-\sqrt3$.

(2) Vynásobila čitatele i jmenovatele tímto dvojčlenem. $$\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt2-\sqrt3}{\sqrt2-\sqrt3}$$

(3) Výraz zjednodušila: $$\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt2-\sqrt3}{\sqrt2-\sqrt3}=\frac{\sqrt2-\sqrt3}{\left(\sqrt2\right)^2-\left(\sqrt3\right)^2}=\frac{\sqrt2-\sqrt3}{2-3}=\frac{\sqrt2-\sqrt3}{-1}=\sqrt3-\sqrt2$$

Majka:

(1) Odstranila odmocniny ze jmenovatele vynásobením zlomku číslem $1$ ve tvaru, který potřebovala: $$\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}\cdot1=\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt2+\sqrt3}{\sqrt2+\sqrt3}$$

(2) Výraz zjednodušila: $$\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}\cdot \frac{\sqrt2+\sqrt3}{\sqrt2+\sqrt3}=\frac{\sqrt2+\sqrt3}{\left(\sqrt2\right)^2+\left(\sqrt3\right)^2}=\frac{\sqrt2+\sqrt3}{2+3}=\frac{\sqrt2+\sqrt3}{5}$$

Vyberte pravdivé tvrzení.

Answer 1: 

Majka má řešení správně, všechny kroky jsou bez chyb.

Answer 2: 

Majka má řešení nesprávné. Chyba je v kroku (2). Součin $\left(\sqrt2+\sqrt3\right)\left(\sqrt2+\sqrt3\right)$ se nerovná $\left(\sqrt2\right)^2+\left(\sqrt3\right)^2$.

Answer 3: 

Martina má řešení nesprávné. Chyba je v kroku (2). Součin $\left(\sqrt2+\sqrt3\right)\left(\sqrt2-\sqrt3\right)$ se nerovná $\left(\sqrt2\right)^2-\left(\sqrt3\right)^2$.

Answer 4: 

Martina má řešení nesprávné. Chyba je v kroku (2), protože $$\frac{\sqrt2-\sqrt3}{-1}\neq\sqrt3-\sqrt2.$$

Fixed Answer: 
All Fixed
Correct Answer: 
Answer 2
Hint: 

Martina má řešení správně. Na odstranění odmocniny ze jmenovatele použila násobení jedničkou. (Když číslo vynásobíme číslem $1$, součinem bude samotné číslo.) V našem případě je $1$ zapsaná jako zlomek, jehož čitatel i jmenovatel vznikl z původního jmenovatele vyměněním znaménka mezi odmocninami: $$\frac{\sqrt2-\sqrt3}{\sqrt2-\sqrt3}=1$$ Použila také vzorec: $$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$

V našem případě: $$\left(\sqrt2+\sqrt3\right)\left(\sqrt2-\sqrt3\right)=\left(\sqrt2\right)^2-\left(\sqrt3\right)^2$$