Biorąc pod uwagę dwa punkty $A = [-2, 3]$ i $B = [3; -1]$, znajdź równanie prostej $p =AB\ $w swojej ogólnej formie.
Rozwiązanie Josepha:.
(1) Ogólna postać równania linii prostej to $ax + by + c = 0$.
(2) Ponieważ punkty $A$ i $B$ leżą na linii $p$, wektor kierunku linii $p$ jest $\ \overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}= B\ –\ A = (5; -4)$.
(3) Wektor kierunku $\ \overrightarrow{u}=(a;b)$, dlatego równanie $p$ jest $5x\ –\ 4y + c = 0$.
(4) Punkt $A$ leży na linii $p$, więc $5\cdot(-2)\ –\ 4 \cdot 3 + c = 0 \Rightarrow c = 22$.
(5) Równanie linii $p$ w ogólnej formie to $5x\ –\ 4y + 22 = 0$.
Czy rozwiązanie Josepha jest nieprawidłowe? Jeśli tak, to gdzie Joseph popełnił błąd w swojej procedurze?
Rozwiązanie Josepha jest prawidłowe.
Błąd tkwi w kroku (2). Wektor kierunku linii $p$ jest $\ \overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}=B\ –\ A=(1; -4)$.
Błąd występuje w kroku (3). Wektor kierunku $\ \overrightarrow{u}\neq (a;b)$.
Błąd tkwi w kroku (4). $A\in p$ i tak $5\cdot(-2)\ –\ 4\cdot3+c=0\Rightarrow c = -22$.
(1) Ogólna postać równania linii prostej to $ax + by + c = 0$.
(2) Ponieważ punkty $A$ i $B$ leżą na linii $p$, wektor kierunku linii $p$ jest$\ \overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}=B\ –\ A=(5; -4)$.
(3) Współczynniki$a$ i $b$ w ogólnym równaniu linii są składowymi wektora normalnego (nie wektora kierunku). Wiadomo, że $\ \overrightarrow{n}\ \bot\ \overrightarrow{u}$, więc$\overrightarrow{n}=(4;5)$. Wtedy równanie $p$ is $4x + 5y + c = 0$.
(4) Point $A$ lies on the line $p$, so $4\cdot(-2) + 5 \cdot 3 + c = 0 \Rightarrow c = -7$.
(5) The equation of the line $p$ in general form is $4x + 5y\ –\ 7 = 0$.