Jsou dané body $A = [-2, 3]$ a $B = [3; -1]$. Napište obecnou rovnici přímky $p =AB\ $.
Josefovo řešení:
(1) Obecná rovnice přímky $p$ je $ax + by + c = 0$.
(2) Pokud body $A$ a $B$ leží na přímce $p$, směrový vektor přímky $p$ je $\ \overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}= B\ –\ A = (5; -4)$.
(3) Směrový vektor $\ \overrightarrow{u}=(a;b)$, proto obecná rovnice přímky $p$ je $5x\ –\ 4y + c = 0$.
(4) Bod $A$ leží na přímce $p$, proto: $5\cdot(-2)\ –\ 4 \cdot 3 + c = 0 \Rightarrow c = 22$.
(5) Obecná rovnice přímky $p$ je $5x\ –\ 4y + 22 = 0$.
Je Josefovo řešení chybné? Pokud ano, určete, kde udělal Josef ve svém postupu chybu.
Josefovo řešení je správné.
Chyba je v kroku (2). Směrový vektor přímky $p$ je $\ \overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}=B\ –\ A=(1; -4)$.
Chyba je v kroku (3). Směrový vektor $\ \overrightarrow{u}\neq (a;b)$.
Chyba je v kroku (4). $A\in p$ proto: $5\cdot(-2)\ –\ 4\cdot3+c=0\Rightarrow c = -22$.
(1) Obecná rovnice přímky je $ax + by + c = 0$.
(2) Pokud body $A$ a $B$ leží na přímce $p$, směrový vektor přímky $p$ je $\ \overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}=B\ –\ A=(5; -4)$.
(3) Koeficienty $a$ a $b$ jsou v obecné rovnice přímky tvořeny souřadnicemi normálového vektoru (ne směrového vektoru). Víme, že $\ \overrightarrow{n}\ \bot\ \overrightarrow{u}$, proto $\overrightarrow{n}=(4;5)$. Potom rovnice přímky $p$ je $4x + 5y + c = 0$.
(4) Bod $A$ leží na přímce $p$, proto: $4\cdot(-2) + 5 \cdot 3 + c = 0 \Rightarrow c = -7$.
(5) Obecná rovnice přímky $p$ je $4x + 5y\ –\ 7 = 0$.