Všeobecná rovnica priamky

Project ID: 
3000000037
SubArea: 
Analytická geometria v rovine
Level: 
A
Question: 

Dané sú body $A = [-2, 3]$ a $B = [3; -1]$. Napíšte všeobecnú rovnicu priamky $p =AB\ $.

Jozefove riešenie:

(1) Všeobecná rovnica priamky $p$ je $ax + by + c = 0$.

(2) Keďže body $A$ a $B$ ležia na priamke $p$, smerový vektor priamky $p$ je $\ \overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}= B\ –\ A = (5; -4)$.

(3) Smerový vektor $\ \overrightarrow{u}=(a;b)$, preto všeobecná rovnica priamky $p$ je $5x\ –\ 4y + c = 0$.

(4) Bod $A$ leží na priamke $p$, preto: $5\cdot(-2)\ –\ 4 \cdot 3 + c = 0 \Rightarrow c = 22$.

(5) Všeobecná rovnica priamky $p$ je $5x\ –\ 4y + 22 = 0$.

Je Jozefove riešenie chybné? Ak áno, určte kde urobil Jozef vo svojom postupe chybu.

Answer 1: 

Jozefove riešenie je správne.

Answer 2: 

Chyba je v kroku (2). Smerový vektor priamky $p$ je $\ \overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}=B\ –\ A=(1; -4)$.

Answer 3: 

Chyba je v kroku (3). Smerový vektor $\ \overrightarrow{u}\neq (a;b)$.

Answer 4: 

Chyba je v kroku (4). $A\in p$ preto: $5\cdot(-2)\ –\ 4\cdot3+c=0\Rightarrow c = -22$.

Fixed Answer: 
All Fixed
Correct Answer: 
Answer 3
Hint: 

(1) Všeobecná rovnica priamky je $ax + by + c = 0$.

(2) Keďže body $A$ a $B$ ležia na priamke $p$, smerový vektor priamky $p$ je $\ \overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}=B\ –\ A=(5; -4)$.

(3) Koeficienty $a$ a $b$ vo všeobecnej rovnici priamky sú tvorené súradnicami normálového vektora (nie smerového vektora). Vieme, že $\ \overrightarrow{n}\ \bot\ \overrightarrow{u}$, preto $\overrightarrow{n}=(4;5)$. Potom rovnica priamky $p$ je $4x + 5y + c = 0$.

(4) Bod $A$ leží na priamke $p$, preto: $4\cdot(-2) + 5 \cdot 3 + c = 0 \Rightarrow c = -7$.

(5) Všeobecná rovnica priamky $p$ je $4x + 5y\ –\ 7 = 0$.