Tereza rozwiązała równanie z czynnikami:. $$(n+2)!+16(n+1)!=(n+3)!$$
dla $n\ w \mathbb{N}$, w następujący sposób:
Przestawiła wyrażenia za pomocą współczynników, tak że w każdym wyrażeniu miała $(n+1)!$
$$(n+2)\cdot(n+1)!+16(n+1)!=(n+3)(n+2)(n+1)!$$
(2) Po lewej stronie równania wyliczyła $(n+1)!$.
$$(n+1)!\cdot\left[(n+2)+16\right]=(n+3)(n+2)(n+1)!$$
(3) Podzieliła obie strony równania przez $(n+1)!$.
$$(n+2)+16=(n+3)(n+2)$$
(4) Usunęła nawiasy i uprościła równanie kwadratowe do standardowej postaci.
$$\begin{aligned} n+2+16&=n^2+3n+2n+6\cr n^2+4n-12&=0 \end{aligned}$$
(5) Rozwiązała równanie kwadratowe.
$$D=b^2-4ac=16+48=64$$ $$n_1,\ n_2=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{-4\pm 8}{2}$$ $$n_1=-6,\ n_2=2$$
(6) Zapisała zestaw rozwiązań dla podanego równania.
$$K=\left\{-6; 2 \right\}$$
Czy Tereza popełniła błąd podczas obliczeń? Jeśli tak, określ gdzie.
Tereza nie popełniła błędu i prawidłowo rozwiązała problem.
Tereza popełniła pierwszy błąd w kroku (1). Powinna była rozłożyć wyrażenie po prawej stronie równania w następujący sposób: $$(n+3)!=(n+2)(n+1)!$$
Tereza popełniła pierwszy błąd w kroku (3). Podzieliła równanie przez wyrażenie $(n+1)!$, która staje się zerem dla $n=-1$. Zestaw rozwiązań dla podanego równania to $K=\left\{ -6; -1; 2 \right\}$.
Tereza popełniła pierwszy błąd w ostatnim kroku (6). Pierwiastek $-6$ równania kwadratowego nie jest liczbą naturalną, $-6\notin\mathbb{N}$. Dlatego nie jest to rozwiązanie danego równania.