Teresa ha solucionado la ecuación con factoriales: $$(n+2)!+16(n+1)!=(n+3)!$$
suponiendo que $n\in \mathbb{N}$, del siguiente modo:
(1) Ha reordenado las expresiones con factoriales dejando $(n+1)!$ en cada término.
$$(n+2)\cdot(n+1)!+16(n+1)!=(n+3)(n+2)(n+1)!$$
(2) En el lado izquierdo de la ecuación, ha sacado factor común $(n+1)!$.
$$(n+1)!\cdot\left[(n+2)+16\right]=(n+3)(n+2)(n+1)!$$
(3) Ha dividido ambos lados de la ecuación por $(n+1)!$.
$$(n+2)+16=(n+3)(n+2)$$
(4) Ha quitado los paréntesis y ha simplificado la ecuación cuadrática a su forma estándar.
$$\begin{aligned} n+2+16&=n^2+3n+2n+6\cr n^2+4n-12&=0 \end{aligned}$$
(5) Ha solucionado la ecuación cuadrática.
$$D=b^2-4ac=16+48=64$$ $$n_1,\ n_2=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{-4\pm 8}{2}$$ $$n_1=-6,\ n_2=2$$
(6) Ha escrito el conjunto de soluciones para la ecuación dada.
$$K=\left\{-6; 2 \right\}$$
¿Ha cometido Tereza algún error durante el cálculo?
Tereza no se ha equivocado y ha solucionado el problema correctamente.
Tereza ha cometido el primer error en el paso (1). Debería haber factorizado la expresión del lado derecho de la ecuación de la siguiente manera: $$(n+3)!=(n+2)(n+1)!$$
Tereza ha cometido el primer error en el paso (3). Ha dividido la ecuación por la expresión $(n+1)!$, que se hace cero para $n=-1$. El conjunto de soluciones para la ecuación dada es $ K = -6; -1; 2 \right\} $.
Tereza ha cometido el primer error en el último paso (6). La raíz $-6$ de la ecuación cuadrática no es un número natural, $-6\notin\mathbb{N}$. Por lo tanto, no es una solución de la ecuación dada.