La función signo (sgn) está definida para asignar $-1$ a los números negativos, $0$ al cero, y $+1$ a los números positivos. Se pidió a Adam que encontrara el límite de la función $$ f(x) = \mathrm{sgn} (x - 3) +2 $$ en $x = 3$. De sus clases de matemáticas, recordó el procedimiento que consiste en calcular el valor de la función, y el resultado es igual al límite deseado $$ \lim_{x\rightarrow 3} \left[\mathrm{sgn} (x - 3) + 2\right] = \mathrm{sgn} (3-3) + 2 = \mathrm{sgn} \,0 + 2 = 0 + 2 = 2. $$
Luego sus compañeros comentaron su forma de resolverlo. ¿Quién tiene razón?
Alice: Adam se equivoca. El valor de la función $\mathrm{sgn} $ para $x = 3$ es igual a $+1$. Añadiendo el número $2$ nos da el límite buscado, que es igual a $3$.
Bob: Adam se equivoca. La función $f$ en $x = 3$ no es continua. Por tanto, el límite no puede ser igual al valor de la función.
Chris: Adam tiene razón. El límite siempre se puede calcular como el valor de la función.
David: Adam se equivoca. La resolución correcta es: $$ \lim_{x\rightarrow 3} \left[\mathrm{sgn} (x - 3) + 2\right] = \lim_{x\rightarrow 3} \left[\mathrm{sgn} (x - 1) \right]=\mathrm{sgn}\,2 =1. $$
Bob
Alice
Chris
David
La función $f$ no es continua en $x = 3$. Por tanto, el límite no puede ser igual al valor de la función en dicho punto. El límite por la izquierda es $1$, y el límite por la derecha es $3$; el límite no existe.