Geometria v priestore

1103189001

Časť: 
B
Určte všeobecnú rovnicu roviny \( \alpha \), ktorá je kolmá na priamku \( p \): \begin{align*} x&=7+t, \\ y&=2t, \\ z&=4-t;\ t\in\mathbb{R}, \end{align*} a prechádza bodom \( A=[1;0;4] \). Ďalej vypočítajte súradnice bodu \( B \), v ktorom priamka \( p \) pretína rovinu \( \alpha \) (viď obrázok).
\( \alpha\colon x+2y-z+3=0;\ B=[6;-2;5] \)
\( \alpha\colon x+2y-z-3;\ B=[6;-2;5] \)
\( \alpha\colon x+2y-z-3=0;\ B=[8;2;3] \)
\( \alpha\colon x+2y-z+3=0;\ B=[8;2;3] \)

1103189002

Časť: 
B
Určte všeobecnú rovnicu roviny \( \beta \), ktorá prechádza bodmi \( M=[-1;1;-3] \) a \( N=[0;2;-1] \) a je kolmá na rovinu \( \alpha \): \( 3x-y+2=0 \) (viď obrázok).
\( \beta\colon x+3y-2z-8=0 \)
\( \beta\colon x+3z+10=0 \)
\( \beta\colon x+3z+3=0 \)
\( \beta\colon x+3y-2z+8=0 \)

1103189003

Časť: 
B
Určte všeobecnú rovnicu roviny \( \beta \), ktorá prechádza priamkou \( p \) danou parametrickými rovnicami \begin{align*} x&=1+2t, \\ y&=-2t, \\ z&=1+t;\ t\in\mathbb{R}, \end{align*} a je kolmá k rovine \( \alpha \): \( x+3y-z-7=0 \) (viď obrázok).
\( \beta\colon x-3y-8z+7=0 \)
\( \beta\colon 2x-2y+z-3=0 \)
\( \beta\colon x-3y-8z-7=0 \)
\( \beta\colon 2x-2y+z+3=0 \)

1103189004

Časť: 
B
Je daný bod \( A=[2;-1;-4] \) a roviny \( \rho \): \( x-y+3z-5=0 \) a \( \sigma \): \( 2x-y-z-8=0 \). Určte všeobecnú rovnicu roviny \( \alpha \), ktorá prechádza bodom \( A \) a je kolmá k obom daným rovinám (viď obrázok).
\( \alpha\colon 4x+7y+z+3=0 \)
\( \alpha\colon -2x+5y-3z-3=0 \)
\( \alpha\colon 4x-7y+z+3=0 \)
\( \alpha\colon 2x-5y+3z+3=0 \)

2010005004

Časť: 
B
Určte vzdialenosť dvoch rovnobežných rovín \(\rho \) a \(\sigma \). \[ \begin{aligned} \rho& \colon 2x - 0{,}5y - 4z - 4 = 0,\\ \sigma &\colon 4x - y - 8z -2 = 0 \end{aligned}\]
\(\frac{2} {3}\)
\(\frac{11} {9}\)
\(\frac{10} {9}\)
\(\frac{4} {3}\)

2010005005

Časť: 
B
Sú dané body \(C = [-2;3;-1]\), \(D= [1;2;-3]\) a priamka \(p\). Určte odchýlku priamok \(CD\) a \(p\).\[ \begin{aligned}p\colon x& = 2 -s, &\\y & = 3,\\z & = 2s;\ s\in \mathbb{R}. \\ \end{aligned} \] Výsledok zaokrúhlite na minúty.
\(33^{\circ }13'\)
\(56^{\circ }47'\)
\(90^{\circ }\)
\(146^{\circ }47'\)

2010008701

Časť: 
B
Dané sú body \(K = [ 1; −2; 1]\), \(L = [2; 0; −3]\) a rovina \(\rho\): \(x-2z+3=0\). Určte všeobecnú rovnicu roviny \(\sigma\) obsahujúcu priamku \(KL\), ktorá je kolmá na rovinu \(\rho\) (viďte obrázok).
\( \sigma\colon 2x+y+z-1=0 \)
\( \sigma\colon 2x+3y+2z+2=0 \)
\( \sigma\colon 2y+z+3=0 \)
\( \sigma\colon 2x+y-4=0 \)

2010008702

Časť: 
B
Daný je bod \( P=[3;-4;-5] \) a roviny \( \alpha \): \( 2x-y-3z-5=0 \) a \( \beta \): \( 3x-2y-4z+3=0 \). Určte všeobecnú rovnicu roviny \( \sigma \), ktorá prechádza bodom \( P \) a je kolmá na dané roviny \(\alpha\) a \(\beta\) (viďte obrázok).
\( \sigma\colon 2x+y+z+3=0 \)
\( \sigma\colon 2x-y-z+15=0 \)
\( \sigma\colon 2x-y+z-5=0 \)
\( \sigma\colon 2x+y-z-7=0 \)