Zastosowanie całki oznaczonej

9000065610

Część: 
A
Oblicz całką pole trójkąta określonego trzema podanymi nierównościami \[ \begin{aligned}y& > 0, & \\y& < x + 3, \\y& < 3 - x. \\ \end{aligned} \]
\(\int _{-3}^{0}(x + 3)\, \mathrm{d}x +\int _{ 0}^{3}(3 - x)\, \mathrm{d}x\)
\(\int _{0}^{3}(x + 3)\, \mathrm{d}x\)
\(\int _{-3}^{3}(3 - x)\, \mathrm{d}x\)
\(\int _{-3}^{0}(3 - x)\, \mathrm{d}x +\int _{ 0}^{3}(x + 3)\, \mathrm{d}x\)

1003068201

Część: 
B
Wartość całki \[ \frac{4\pi}9\int\limits_0^3 x^2\mathrm{d}x \] to liczba, która odpowiada:
objętości stożka, którego promień podstawy jest równy \( 2\,\mathrm{cm} \), a wysokość wynosi \( 3\,\mathrm{cm} \).
objętości stożka, którego promień podstawy jest równy \( 3\,\mathrm{cm} \), a wysokość wynosi \( 2\,\mathrm{cm} \).
objętości odcinka kuli, który jest częścią kuli, której promień jest równy \( \frac23\,\mathrm{cm} \), a wysokość wynosi \( 3\,\mathrm{cm} \).
objętości odcinka kuli, który jest częścią kuli, której promień jest równy \( 3\,\mathrm{cm} \), a wysokość wynosi \( \frac23\,\mathrm{cm} \).

1003068202

Część: 
B
Wartość całki \[ \pi\cdot\int\limits_0^6\left[9-(x-3)^2\right]\,\mathrm{d}x \] to liczba, która odpowiada:
objętości kuli o promieniu równym \( 3\,\mathrm{cm} \).
objętości kuli o promieniu równym \( 6\,\mathrm{cm} \).
objętości kuli o średnicy równej \( 3\,\mathrm{cm} \).
objętości półkuli o promieniu \( 3\,\mathrm{cm} \).

1003118702

Część: 
B
Objętość kuli o promieniu \( 3 \) można obliczyć za pomocą całki oznaczonej. Która z podanych formuł nie jest poprawna?
\( \int\limits_{-3}^3\left(9-x^2\right)\,\mathrm{d}x \)
\( \pi\int\limits_{-3}^3\left(9-x^2\right)\,\mathrm{d}x \)
\( 2\pi\int\limits_{0}^3\left(9-x^2\right)\,\mathrm{d}x \)
\( \pi\int\limits_{-3}^3\left(-\sqrt{9-x^2}\right)^2\,\mathrm{d}x \)

1003118703

Część: 
B
Dany jest trapez prostokątny ograniczony przez \( y=ax+1 \), \( x=0 \), \( x=6 \) oraz oś \( x \). Obracając trapez wokół osi \( x \) otrzymujemy stożek ścięty. Oblicz wartość parametru \( a > 0 \) tak, aby objętość stożka ściętego wynosiła \( 26\pi \).
\( a=\frac13 \)
\( a=\frac12 \)
\( a=3 \)
\( a=2 \)

1003118705

Część: 
B
Piotr i Jan obliczyli objętość bryły obrotowej używając całki oznaczonej. Oboje wybrali bryłę uzyskaną przez obrót odcinka wokół osi \( x \). Punkty końcowe odcinka Piotra to \( [0;1] \) oraz \( [5;4] \), punkty końcowe odcinka Jana to \( [0;3] \) oraz \( [5;0] \). Piotr i Jan porównali swoje wyniki. Wskaż zdanie prawdziwe.
Bryła Piotra jest większa o \( 20\pi \).
Bryła Jana jest większa o \( 20\pi \).
Bryły mają taką samą objętość.
Różnica objętości pomiędzy bryłą Piotra i Jana wynosi \( 10\pi \).

1003118706

Część: 
B
Dany jest stożek ścięty, średnice jego podstaw są równe \( 2\,\mathrm{cm} \) i \( 10\,\mathrm{cm} \), wysokość wynosi \( 4\,\mathrm{cm} \). Które z poniższych wzorów nie mogą być użyte do obliczenia objętości tego stożka?
\( V=\pi\int\limits_0^4(5-x)\,\mathrm{d}x \)
\( V=\pi\int\limits_0^4(5-x)^2\mathrm{d}x \)
\( V=\frac{\pi}3\cdot4\cdot(25+5+1) \)
\( V=\frac{\pi}3\cdot25\cdot5-\frac{\pi}3\cdot1\cdot1 \)

1103068301

Część: 
B
Które z tych wzorów można wykorzystać do obliczenia objętości stożka znajdującego się na rysunku?
\( \pi\cdot\int\limits_0^4\left(-\frac14x+1\right)^2\,\mathrm{d}x \)
\( \pi\cdot\int\limits_0^1\left(-4x+4\right)^2\,\mathrm{d}x \)
\( 2\pi\cdot\int\limits_0^4\left(-\frac14x+1\right)^2\,\mathrm{d}x \)
\( 2\pi\cdot\int\limits_0^1\left(-4x+4\right)^2\,\mathrm{d}x \)

1103068302

Część: 
B
Które z tych wzorów można wykorzystać do obliczenia objętości walca znajdującego się na rysunku? Punkty \( [0; 0; 0] \) i \( [4;0;0] \) znajdują się w środku podstaw walca.
\( \pi\cdot\int\limits_0^43^2\,\mathrm{d}x \)
\( \pi\cdot\int\limits_0^34^2\,\mathrm{d}x \)
\( \pi\cdot\int\limits_0^43\,\mathrm{d}x \)
\( \pi\cdot\int\limits_{-4}^49\,\mathrm{d}x \)