Študenti riešili nasledujúcu úlohu:
Po dvoch priamych lesných cestách, ktoré sa kolmo pretínajú, sa pohybujú smerom ku križovatke chodec a cyklista. V čase $t = 0$ sa chodec nachádza v bode $P_0$, ktorý je vzdialený $4\,\mathrm{km}$ od križovatky $K$ (t. j. $ |P_0K| = 4$) a pohybuje sa konštantnou rýchlosťou $v_1 = 5\,\mathrm{km/h}$. V rovnakom čase $t = 0$ sa nachádza cyklista v bode $C_0$, ktorý je vzdialený $6\,\mathrm{km}$ od križovatky $K$ (t. j. $|C_0K| = 6$) a pohybuje sa konštantnou rýchlosťou $v_2 =15\,\mathrm{km/h}$. V akom čase $t$ si budú najbližšie? Učitel pre názornosť situáciu nakreslil na tabuľu a študenti potom prezentovali svoje riešenia:
V čase $t \geq 0$ je chodec v bode $P$ vo vzdialenosti $|PK|$ od križovatky $K$: $$ |PK| = \left||P_0K| - |P_0P|\right| = |4 - v_1t| = |4 - 5t|. $$ Podobne, v čase $t \geq 0$, sa cyklista nachádza v bode $C$ vo vzdialenosti $|CK|$ od križovatky $K$: $$ |CK| = \left||C_0K| - |C_0C|\right| = |6 - v_2t| = |6 - 15t|. $$
Alica: Vzdialenosť $d$ medzi chodcom a cyklistom v čase $t$ sa dá vyjadriť pomocou Pytagorovej vety vzťahom: $$ d(t)= \sqrt{(4 - 5t)^2 + (6 - 15t)^2} $$ Táto vzdialenosť $d(t)$ bude nejmenšia keď funkcia: $$ f(t) = d^2(t) = (4 - 5t)^2 + (6 - 15t)^2 $$ bude nadobúdať minimum.
Jedná sa o kvadratickú funkciu, ktorú môžeme ďalej upravovať: $$ \begin{gather} f(t) = 16 - 40t + 25t^2 + 36 - 180t + 225t^2 \cr f(t) = 250t^2 - 220t + 52 \end{gather} $$ K výpočtu minima tejto funkcie, použijeme známy vzťah pre výpočet prvej súradnice $t_V$ vrcholu paraboly $f(t) = at^2+bt+c$: $$ t_V = - \frac{b}{2a} = \frac{220}{2 \cdot 250} = \frac{220}{500} = 0{,}44 $$
Alicina odpoveď: Najmenšia vzdialenosť medzi chodcom a cyklistom bude za $0{,}44$ hod, teda za $26$ minút a $24$ sekúnd.
Bob: Najmenšia vzdialenosť medzi chodcom a cyklistom bude vo chvíli, keď ten, kto je bližšie ku križovatke (teda chodec) bude priamo na križovatke (vzdialenosť nebude na uhlopriečke). Chodec príde na križovatku v čase: $$ t = \frac{|P_0K|}{v_1}= \frac45 = 0{,}8 $$ Odpoveď Boba: Najmenšia vzdialenosť medzi chodcom a cyklistom bude za $0{,}8$ hod, teda za $48$ minút.
Cecília: Najmenšia vzdialenosť medzi chodcom a cyklistom bude vo chvíli, keď prvý z nich (teda cyklista) bude priamo na križovatke (vzdialenosť nebude na uhlopriečke). Cyklista príde na križovatku v čase $$ t = \frac{|C_0K|}{v_2}= \frac{6}{15} = 0{,}4 $$ Odpoveď Cecílie: Najkratšia vzdialenosť medzi chodcom a cyklistom bude za $0{,}4$ hod, teda za $24$ minút.
Dávid: Vzdialenosť medzi chodcom a cyklistom bude minimálna, keď budú rovnako vzdialení od križovatky (teda pomyselný trojuholník $PKC$ bude rovnoramenný, takže jeho prepona bude najkratšia), to znamená: $$ \begin{aligned} 4 - 5t &= 6 - 15t \cr 10t &= 2 \cr t &= 0{,}2 \end{aligned} $$ Dávidova odpoveď: Najmenšia vzdialenosť medzi chodcom a cyklistom bude za $0{,}2$ hod, teda za $12$ minút. Vyriešil niekto zo študentov úlohu správne? Ak áno, určte kto.
Ano, Alica.
Ano, Bob.
Ano, Cecilia.
Ano, Dávid.
Áno, všetci úlohu vyriešili správne, pretože podľa vety o kolmici sa vzdialenosť medzi objektmi pohybujúcimi sa kolmo na seba nemení.
Nikto.
Vzdialenosť $d$ medzi chodcom a cyklistom v čase $t$ je daná vzťahom: $$ d(t)= \sqrt{(4 - 5t)^2 + (6 - 15t)^2}. $$ Všimnite si, že ak je funkcia nezáporná, potom jej minimum sa nachádza v tom istom bode ako minimum druhej mocniny tejto funkcie. Z tohto dôvodu je možné hľadať minimum funkcie $d(t)$ rovnako ako minimum funkcie: $$ f(t) = (d(t))^2 = (4 - 5t)^2 + (6 - 15t)^2 = 250t^2 - 220t + 52 $$ ktorej graf môžeme vidieť na nasledujúcom obrázku:
