Studenci mieli do wykonania następujące zadanie: Pieszy i rowerzysta poruszają się w kierunku skrzyżowania po dwóch prostych leśnych ścieżkach, które przecinają się prostopadle. W chwili $t = 0$, pieszy znajduje się w punkcie $P_0$, który jest oddalony o $4\,\mathrm{km}$ od skrzyżowania $K$ (tj. $ |P_0K| = 4$) i porusza się ze stałą prędkością $v_1 = 5\,\mathrm{km/h}$. W tym samym czasie $t = 0$ rowerzysta znajduje się w punkcie $C_0$, który jest oddalony o $6\,\mathrm{km}$ od skrzyżowania $K$ (tj. $|C_0K| = 6$) i porusza się ze stałą prędkością $v_2 = 15\,\mathrm{km/h}$. W jakim czasie $t$ będą najbliżej siebie? Aby zilustrować sytuację, nauczyciel narysował diagram na tablicy, a uczniowie przedstawili swoje rozwiązania:
W czasie $t \geq 0$ pieszy znajduje się w punkcie $P$ w odległości $|PK|$ od skrzyżowania $K$: $$ |PK| = \left||P_0K| - |P_0P|\right| = |4 - v_1t| = |4 - 5t|. $$ Podobnie, w czasie $t \geq 0$, rowerzysta znajduje się w punkcie $C$ w odległości $|CK|$ od skrzyżowania $K$: $$ |CK| = \left||C_0K| - |C_0C|\right| = |6 - v_2t| = |6 - 15t|. $$
Alicja: Odległość $d$ pomiędzy pieszym a rowerzystą w czasie $t$ może być wyrażona za pomocą twierdzenia Pitagorasa jako: $$ d(t)= \sqrt{(4 - 5t)^2 + (6 - 15t)^2} $$ Odległość $d(t)$ będzie minimalizowana za każdym razem, gdy funkcja: $$ f(t) = d^2(t) = (4 - 5t)^2 + (6 - 15t)^2 $$ osiąga swoje minimum.
Jest to funkcja kwadratowa, której równanie można dodatkowo uprościć: $$ \begin{gather} f(t) = 16 - 40t + 25t^2 + 36 - 180t + 225t^2 \cr f(t) = 250t^2 - 220t + 52 \end{gather} $$ Aby znaleźć minimum tej funkcji, użyjemy wzoru na pierwszą współrzędną $t_V$ wierzchołka paraboli $f(t) = at^2+bt+c$: $$ t_V = - \frac{b}{2a} = \frac{220}{2 \cdot 250} = \frac{220}{500} = 0{,}44 $$
Odpowiedź Alicji: Odległość między rowerzystą a pieszym będzie najmniejsza po $0{,}44$ godzinach, czyli po $26$ minutach i $24$ sekundach.
Bob: Najkrótsza odległość między pieszym a rowerzystą występuje, gdy ten bliżej skrzyżowania (pieszy) jest tuż przy skrzyżowaniu (najkrótsza odległość nie jest mierzona wzdłuż przekątnej). Pieszy dociera do skrzyżowania w czasie: $$ t = \frac{|P_0K|}{v_1}= \frac45 = 0{,}8 $$ Odpowiedź Boba: Najkrótszy dystans między pieszym a rowerzystą występuje po $0,8$ godziny, czyli po $48$ minutach.
Cecylia: Najmniejsza odległość między pieszym a rowerzystą występuje, gdy pierwszy z nich (rowerzysta) dotrze do skrzyżowania (odległość nie jest mierzona wzdłuż przekątnej). Rowerzysta dociera do skrzyżowania w czasie: $$ t = \frac{|C_0K|}{v_2}= \frac{6}{15} = 0{,}4 $$ Odpowiedź Cecylii: Najmniejsza odległość między pieszym a rowerzystą występuje po $0{,}4$ godzinach, czyli po $24$ minutach.
Dawid: Odległość między pieszym a rowerzystą jest zminimalizowana, gdy obaj znajdą się w tej samej odległości od skrzyżowania (trójkąt $PKC$ jest wtedy równoramienny, co sprawia, że jego przeciwprostokątna jest najkrótsza z możliwych). Oznacza to, że: $$ \begin{aligned} 4 - 5t &= 6 - 15t \cr 10t &= 2 \cr t &= 0{,}2 \end{aligned} $$ Odpowiedź Dawida: Najmniejsza odległość między pieszym a rowerzystą występuje po $0{,}2$ godzinach, czyli po $12$ minutach. Czy któryś z uczniów rozwiązał zadanie poprawnie?
Tak, Alicja.
Tak, Bob.
Tak, Cecylia.
Tak, Dawid.
Tak, wszyscy rozwiązali zadanie poprawnie, ponieważ zgodnie z twierdzeniem o prostopadłości odległość między obiektami poruszającymi się prostopadle nie zmienia się.
Nikt.
Odległość $d$ między pieszym a rowerzystą w czasie $t$ jest określona równaniem $$ d(t)= \sqrt{(4 - 5t)^2 + (6 - 15t)^2}. $$ Należy zauważyć, że minimum funkcji nieujemnej występuje w tym samym punkcie, co minimum kwadratu tej funkcji. Z tego powodu możliwe jest zminimalizowanie funkcji $d(t)$ poprzez minimalizację funkcji: $$ f(t) = (d(t))^2 = (4 - 5t)^2 + (6 - 15t)^2 = 250t^2 - 220t + 52 $$ której wykres przedstawiono na poniższym rysunku.
