Studenti řešili následující úlohu:
Po dvou přímých lesních cestách, které se kolmo protínají, se pohybují směrem ke křižovatce chodec a cyklista. V čase $t = 0$ se chodec nachází ve výchozím bodě $P_0$, který je vzdálený $4\,\mathrm{km}$ od křižovatky $K$ (tzn., $ |P_0K| = 4$) a pohybuje se konstantní rychlostí $v_1 = 5\,\mathrm{km/h}$. Ve stejném čase $t = 0$ se nachází cyklista v bodě $C_0$, který je vzdálen $6\,\mathrm{km}$ od křižovatky $K$ (tzn., $|C_0K| = 6$) a pohybuje se konstantní rychlostí $v_2 =15\,\mathrm{km/h}$. V jakém čase $t$ si budou nejblíže? Učitel pro názornost situaci nakreslil na tabuli a studenti pak prezentovali svoje řešení:
V čase $t \geq 0$ je chodec v bodě $P$ ve vzdálenosti $|PK|$ od křižovatky $K$: $$ |PK| = \left||P_0K| - |P_0P|\right| = |4 - v_1t| = |4 - 5t|. $$ Podobně, v čase $t \geq 0$, se cyklista nachází v bodě $C$ ve vzdálenosti $|CK|$ od křižovatky $K$: $$ |CK| = \left||C_0K| - |C_0C|\right| = |6 - v_2t| = |6 - 15t|. $$
Alice: Vzdálenost $d$ mezi chodcem a cyklistou v čase $t$ lze vyjádřit pomocí Pythagorovy věty vztahem: $$ d(t)= \sqrt{(4 - 5t)^2 + (6 - 15t)^2} $$ Tato vzdálenost $d(t)$ bude nejmenší, když funkce: $$ f(t) = d^2(t) = (4 - 5t)^2 + (6 - 15t)^2 $$ nabude minima.
Jedná se o kvadratickou funkci, kterou můžeme dále upravovat: $$ \begin{gather} f(t) = 16 - 40t + 25t^2 + 36 - 180t + 225t^2 \cr f(t) = 250t^2 - 220t + 52 \end{gather} $$ K výpočtu minima této funkce, použijeme známý vztah pro výpočet první souřadnice $t_V$ vrcholu paraboly $f(t) = at^2+bt+c$: $$ t_V = - \frac{b}{2a} = \frac{220}{2 \cdot 250} = \frac{220}{500} = 0{,}44 $$
Alicina odpověď: Nejmenší vzdálenost mezi chodcem a cyklistou bude za $0{,}44$ hod, tedy za $26$ minut a $24$ vteřin.
Bob: Nejmenší vzdálenost mezi chodcem a cyklistou bude ve chvíli, kdy ten, kdo je blíže křižovatce (tedy chodec) bude přímo na křižovatce (vzdálenost nebude na uhlopříčce). Chodec dosáhne křižovatky v čase: $$ t = \frac{|P_0K|}{v_1}= \frac45 = 0{,}8 $$ Bobova odpověď: Nejmenší vzdálenost mezi chodcem a cyklistou bude za $0{,}8$ hod, tedy za $48$ minut.
Cecílie: Nejmenší vzdálenost mezi chodcem a cyklistou bude ve chvíli, kdy první z nich (tedy cyklista) bude přímo na křižovatce (vzdálenost nebude na uhlopříčce). Cyklista dosáhne křižovatky v čase $$ t = \frac{|C_0K|}{v_2}= \frac{6}{15} = 0{,}4 $$ Odpověď Cecílie: Nejkratší vzdálenost mezi chodcem a cyklistou bude za $0{,}4$ hod, tedy za $24$ minut.
David: Vzdálenost mezi chodcem a cyklistou bude minimální, když budou stejně vzdáleni od křižovatky (pomyslný $PKC$ bude rovnoramenný, takže jeho přepona bude nejkratší), to znamená: $$ \begin{aligned} 4 - 5t &= 6 - 15t \cr 10t &= 2 \cr t &= 0{,}2 \end{aligned} $$ Davidova odpověď: Nejmenší vzdálenost mezi chodcem a cyklistou bude za $0{,}2$ hod, tedy za $12$ minut. Vyřešil někdo ze studentů úlohu správně? Pokud ano, určete kdo.
Ano, Alice.
Ano, Bob.
Ano, Cecilie.
Ano, David.
Ano. Všichni čtyři studenti úlohu vyřešili správně. Vzdálenost mezi kolmo se pohybujícími objekty se podle Perpendiculovy věty nemění.
Nikdo
Vzdálenost $d$ mezi chodcem a cyklistou v čase $t$ je dána vztahem: $$ d(t)= \sqrt{(4 - 5t)^2 + (6 - 15t)^2}. $$ Všimněte si, že minimum nezáporné funkce se vyskytuje ve stejném bodě jako minimum druhé mocniny této funkce. Z tohoto důvodu je možné minimalizovat funkci $d(t)$ minimalizací funkce: $$ f(t) = (d(t))^2 = (4 - 5t)^2 + (6 - 15t)^2 = 250t^2 - 220t + 52 $$ jejíž graf můžeme vidět na následujícím obrázku:.
