Bob dostal úlohu určiť maximálnu veľkosť rýchlosti, ktorú môže dosiahnuť hmotný bod pri harmonickom kmitaní na pružine (po priamke) v prostredí bez odporu. Pohyb je popísaný rovnicou: $$ y(t)=0{,}8\sin (\pi t), $$ kde $y(t)$ označuje polohu v čase $t$ v sekundách.
Bob pohyb analyzoval správne odvodením rýchlosti ako derivácie polohy podľa času $t$: $$ v(t)=y'(t)=0{,}8\cos (\pi t) $$ Uvedomil si, že funkcia kosínus nadobúda maximálnu hodnotu $+1$ (a minimálnu hodnotu $-1$), takže dospel k záveru, že maximálna veľkosť rýchlosti je $0{,}8\,\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-1}$. Vyriešil Bob úlohu správne? Vysvetlite.
Nie. Nevypočítal deriváciu $y'(t)$ správne.
Nie, rýchlosť $v(t)$ sa nerovná $y'(t)$.
Áno. Veľkosť maximálnej rýchlosti je vypočítaná správne.
Nie. Veľkosť maximálnej rýchlosti sa nedá vypočítať z danej rovnice.
Pri derivácii funkcie $y(t)$ Bob zabudol zderivovať vnútornú funkciu. Správny výpočet rýchlosti je: $$ v(t)=y'(t)=0{,}8\pi \cos (\pi t). $$ Maximálna veľkosť rýchlosti je teda $0{,}8\pi\,\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-1} \doteq 2{,}51\,\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-1}$.
Maximálna veľkosť rýchlosti sa dosiahne v čase $t\geq 0$ spĺňajúcom $\cos (\pi t)=1$ alebo $\cos (\pi t)=-1$. V týchto prípadoch je veľkosť rýchlosti maximálna, ale vektor rýchlosti má opačný smer. Nie je ťažké overiť, že maximálna veľkosť rýchlosti sa dosiahne vždy v čase $t\in \mathbb{N} \cup {0}$ (pozri graf na obrázku nižšie).
