Bob miał za zadanie określić maksymalną prędkość, jaką może osiągnąć masa punktowa na sprężynie oscylującej harmonicznie (wzdłuż linii prostej) w środowisku bez oporu. Jej ruch jest opisany równaniem: $$ y(t)=0{,}8\sin (\pi t), $$ gdzie $y(t)$ oznacza odchylenie od położenia równowagi w metrach, a $t$ reprezentuje czas w sekundach.
Najpierw Bob obliczył pierwszą pochodną $y$ względem czasu i otrzymaliśmy równanie dla prędkości w czasie $t$: $$ v(t)=y'(t)=0{,}8\cos (\pi t) $$
Zdał sobie sprawę, że funkcja cosinus przyjmuje maksymalną wartość równą $+1$ (i minimalna wartość $-1$), więc doszedł do wniosku, że maksymalna wielkość prędkości wynosi $0{,}8\,\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-1}$.
Czy Bob poprawnie rozwiązał zadanie? Wyjaśnij.
Nie. Nie obliczył pochodnej $y'(t)$ prawidłowo.
Nie. Prędkość $v(t)$ nie jest równa $y'(t)$.
Tak. Maksymalna prędkość jest obliczana prawidłowo.
Nie. Z podanego równania nie można obliczyć maksymalnej wartości prędkości.
Biorąc pochodną $y(t)$, Bob zapomniał zastosować regułę łańcuchową i zróżnicować funkcję wewnętrzną. Prawidłowe różniczkowanie to: $$ v(t)=y'(t)=0{,}8\pi \cos (\pi t). $$ Maksymalna wielkość prędkości wynosi zatem $0{,}8\pi\,\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-1} \doteq 2{,}51\,\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-1}$.
Maksymalna prędkość osiągana jest w czasie $t\geq 0$ satysfakcjonującym $\cos (\pi t)=1$ or $\cos (\pi t)=-1$. W takich przypadkach wielkość prędkości jest maksymalna, ale wektor prędkości ma przeciwny kierunek. Nie jest trudno zweryfikować, że maksymalna wielkość prędkości jest osiągana przez cały czas $t\in \mathbb{N} \cup {0}$ (patrz wykres na poniższym obrazku).
