Bob měl za úkol určit maximální velikost rychlosti, které může dosáhnout hmotný bod na pružině kmitající harmonicky (po přímce) v prostředí bez odporu. Jeho pohyb je popsán rovnicí: $$ y(t)=0{,}8\sin (\pi t), $$ kde $y(t)$ představuje výchylku z rovnovážné polohy v metrech a $t$ je čas v sekundách.
Bob nejprve zderivoval výchylku $y$ podle času, čímž získal rovnici pro rychlost v obecném čase $t$: $$ v(t)=y'(t)=0{,}8\cos (\pi t) $$
Poté si uvědomil, že funkce kosinus nabývá maximální hodnoty $+1$ (a minimální hodnoty $-1$), usoudil proto, že maximální rychlost bude mít hodnotu $0{,}8\,\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-1}$.
Počítal Bob správně? Zdůvodněte.
Ne. Derivace $y'(t)$ je spočítána chybně.
Ne. Rychlost $v(t)$ není rovna derivaci výchylky z rovnovážné polohy podle času $y'(t)$.
Ano, maximální rychlost je spočítána správně.
Ne. Ze zadané rovnice nelze maximální rychlost určit.
Bob zapomněl na derivaci vnitřní funkce. Správný výpočet rychlosti je : $$ v(t)=y'(t)=0{,}8\pi \cos (\pi t). $$ Maximální velikost rychlosti je tedy $0{,}8\pi\,\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-1} \doteq 2{,}51\,\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-1}$.
Maximální velikosti rychlosti je dosaženo v časech $t\geq 0$ vyhovujících $\cos (\pi t)=1$ nebo $\cos (\pi t)=-1$. V těchto případech je velikost rychlosti maximální, ale vektor rychlosti má opačný směr. Není těžké ověřit, že maximální velikost rychlosti je vždy dosažena pro $t\in \mathbb{N} \cup {0}$ (viz graf na obrázku níže).
