Uvažujme funkcie $f(x)=3x-1$ a $g(x)=-x+2$. Eva mala za úlohu nájsť rovnice zložených funkcií $h_1=f\circ g$ a $h_2=g\circ f$, vypočítať ich hodnoty pre $x=\frac23$ a tieto hodnoty porovnať.
Evin postup: (1) Uvedomila si, že $(f\circ g)(x)= f(g(x))$ a určila rovnicu pre $h_1$ takto: $$ h_1(x)=f(g(x))=3\cdot(-x+2)-1=-3x+6-1=-3x+5 $$ (2) Tiež si uvedomila, že $(g\circ f)(x)= g(f(x))$ a určila rovnicu pre $h_2$ takto: $$ h_2(x)=g(f(x))=-(3x-1)+2=-3x+1+2=-3x+3 $$ (3) Potom vypočítala hodnotu funkcie $h_1$ pre $x=\frac23 $: $$ h_1\left(\frac23 \right)=-3\cdot\frac23 +5=3 $$ (4) Ďalej vypočítala hodnotu funkcie $h_2$ pre $x=\frac23 $: $$ h_2\left(\frac23 \right)=-3\cdot\frac23 +3=1 $$ (5) Nakoniec dospela k záveru, že hodnota $h_1(\frac23)$ je o $2$ väčšia ako hodnota $h_2(\frac23 )$.
Evine kamarátky potom komentovali jej postup:
Zuzka: "Zvládla si to skvele! Tvoj postup je úplne správny!"
Elena: "Posledné tri kroky si ani nemusela počítať. Zo správne určených rovníc $h_1$ a $h_2$ je jasné, že hodnoty $h_1$ budú vždy o $2$ väčšie ako hodnoty funkcie $h_2$ v ktoromkoľvek bode $x\in \mathbb{R}$, vrátane $x=\frac23$."
Alica: "Tvoj postup nie je správny. Chyby si urobila v krokoch $1$ a $2$, pretože si zamenila zložené funkcie. Malo to byť $h_1(x)=-3x+3$ a $h_2(x)=-3x+5$. To znamená, že $h_1(\frac23 )$ je o $2$ menšie ako $h_2(\frac23 )$."
Nora: "Chybu si urobila v kroku $1$. Malo to byť $h_1(x)=3\cdot(-x)+2-1=-3x+1$. Avšak $h_2$ si určila správne. Preto je $h_1(\frac23 )$ o $2$ menšia ako $h_2(\frac23 )$." Ktorý z Eviných priateľov komentoval jej postup správne?
Zuzana a Elena
Alica
Nora
Len Zuzana
Len Elena
Zložená funkcia $h_1=f\circ g$ je definovaná rovnosťou: $h_1(x)=f(g(x))$. To znamená, že funkcia $g(x)$ je "vložená" do funkcie $f(x)$. V rovnici funkcie $f(x)$ je každé $x$ nahradené $g(x)$. Eva teda postupovala úplne správne. Zároveň mala pravdu aj Elena. Ak sa rovnice dvoch funkcií líšia len o konštantu, potom sa o túto konštantu líšia aj ich funkčné hodnoty v ktoromkoľvek bode ich definičného oboru.