Consideremos las funciones $f(x)=3x-1$ y $g(x)=-x+2$. A Eva se le encargó encontrar las ecuaciones de las funciones compuestas $h_1=f\circ g$ and $h_2=g\circ f$, calcular sus valores para $x=\frac23 $, y comparar estos valores.
El procedimiento de Eva:
(1) Se dio cuenta de que $(f\circ g)(x)= f(g(x))$ y determinó la ecuación para $h_1$ de la siguiente manera: $$ h_1(x)=f(g(x))=3\cdot(-x+2)-1=-3x+6-1=-3x+5 $$
(2) También se dio cuenta de que $(g\circ f)(x)= g(f(x))$ y determinó la ecuación para $h_2$ de la siguiente manera: $$ h_2(x)=g(f(x))=-(3x-1)+2=-3x+1+2=-3x+3 $$
(3) A continuación, calculó el valor de la función de $h_1$ para $x=\frac23 $: $$ h_1\left(\frac23 \right)=-3\cdot\frac23 +5=3 $$
(4) A continuación, calculó el valor de la función $h_2$ para $x=\frac23 $: $$ h_2\left(\frac23 \right)=-3\cdot\frac23 +3=1 $$
(5) Finalmente, concluyó que el valor de $h_1(\frac23)$ es $2$ mayor que el valor de $h_2(\frac23 )$.
Los amigos de Eva comentaron entonces su procedimiento:
Susan: “¡Lo has hecho muy bien! Tu procedimiento es completamente correcto!”
Elis: “Ni siquiera ha hecho falta calcular los tres últimos pasos. A partir de las ecuaciones correctamente determinadas de $h_1$ y $h_2$, queda claro que los valores de $h_1$ siempre serán $2$ mayores que los valores de la función $h_2$ en cualquier punto $x\en \mathbb{R}$, incluyendo $x=\frac23$.”
Alice: “Tu procedimiento no es correcto. Has cometido los errores en los pasos $1$ y $2$ al intercambiar las funciones compuestas. Debería haber sido $h_1(x)=-3x+3$ y $h_2(x)=-3x+5$. Esto significa que $h_1(\frac23 )$ es $2$ menor que $h_2(\frac23 )$.”
Nora: “Has cometido el error en el paso $1$. Debería haber sido $h_1(x)=3\cdot(-x)+2-1=-3x+1$. Sin embargo, has determinado $h_2$ correctamente. Por lo tanto, $h_1(\frac23 )$ es $2$ menor que $h_2(\frac23 )$.”
¿Cuál de los amigos de Eva comentó correctamente su procedimiento?
Susan y Elis
Alice
Nora
Sólo Susan
Sólo Elis
La función compuesta $h_1=f\circ g$ se define por la igualdad: $h_1(x)=f(g(x))$. Esto significa que la función $g(x)$ se «inserta» en la función $f(x)$. En la ecuación de la función $f(x)$ cada $x$ se sustituye por $g(x)$. Por lo tanto, Eva procedió de forma completamente correcta. Al mismo tiempo, también Elis tenía razón. Si las ecuaciones de dos funciones difieren sólo en una constante, entonces sus valores de función también difieren en esta constante en cualquier punto de su dominio.