Dana jest $f(x)=3x-1$ i $g(x)=-x+2$. Ewa miała za zadanie znaleźć równania funkcji złożonych $h_1=f\circ g$ i $h_2=g\circ f$, obliczyć ich wartości dla $x=\frac23$ i porównać te wartości.
Postępowanie Ewy:
(1) Zdała sobie sprawę, że $(f\circ g)(x)= f(g(x))$ i wyznaczyła równanie dla $h_1$ w następujący sposób: $$ h_1(x)=f(g(x))=3\cdot(-x+2)-1=-3x+6-1=-3x+5 $$
(2) Zdała sobie również sprawę, że $(g\circ f)(x)= g(f(x))$ i wyznaczyła równanie dla $h_2$ w następujący sposób: $$ h_2(x)=g(f(x))=-(3x-1)+2=-3x+1+2=-3x+3 $$
(3) Następnie obliczyła wartość funkcji $h_1$ dla $x=\frac23$: $$ h_1\left(\frac23 \right)=-3\cdot\frac23 +5=3 $$
(4) Następnie obliczyła wartość funkcji $h_2$ dla $x=\frac23$: $$ h_2\left(\frac23 \right)=-3\cdot\frac23 +3=1 $$
(5) Ostatecznie doszła do wniosku, że wartość $h_1(\frac23)$ jest o $2$ większa niż wartość $h_2(\frac23 )$.
Następnie znajomi Ewy skomentowali jej postępowanie:
Susan: “Świetnie się spisałaś! Twoje postępowanie jest całkowicie poprawne!"
Elis: “Nie trzeba było nawet obliczać trzech ostatnich kroków. Z poprawnie wyznaczonych równań funkcji $h_1$ i $h_2$ jasno wynika, że wartości funkcji $h_1$ będą zawsze o $2$ większe od wartości funkcji $h_2$ w dowolnym punkcie $x\in \mathbb{R}$, w tym w punkcie $x=\frac23$".
Alice: “Twoje działania nie są poprawne. Popełniłeś błędy w krokach $1$ i $2$, ponieważ zamieniłeś funkcje złożone. Powinno być $h_1(x)=-3x+3$ i $h_2(x)=-3x+5$. Oznacza to, że $h_1(\frac23 )$ jest o $2$ mniejsze niż $h_2(\frac23 )$".
Nora: “Popełniłaś błąd w kroku $1$. Powinno być $h_1(x)=3\cdot(-x)+2-1=-3x+1$. Jednak wartość $h_2$ została wyznaczona poprawnie. Dlatego $h_1(\frac23 )$ jest o $2$ mniejsze niż $h_2(\frac23 )$".
Który z przyjaciół Ewy prawidłowo skomentował jej działania?
Susan i Elis
Alice
Nora
Tylko Susan
Tylko Elis
Funkcja złożona $h_1=f\circ g$ jest zdefiniowana przez równość: $h_1(x)=f(g(x))$. Oznacza to, że funkcja $g(x)$ jest "wstawiona" do funkcji $f(x)$. W równaniu funkcji $f(x)$ każde $x$ jest zastępowane przez $g(x)$. Dlatego Eva postąpiła całkowicie poprawnie. Jednocześnie również Elis miała rację. Jeśli równania dwóch funkcji różnią się tylko o stałą, to ich wartości funkcji różnią się również o tę stałą w dowolnym punkcie ich dziedziny.