Jsou dány funkce $f(x)=3x-1$ a $g(x)=-x+2$. Eva dostala za úkol určit předpisy složených funkcí $h_1=f\circ g$ a $h_2=g\circ f$, vypočítat jejich hodnoty pro $x=\frac23 $ a pak je porovnat.
Evin postup:
(1) Věděla, že $(f\circ g)(x)= f(g(x))$ a určila předpis funkce $h_1$ takto: $$ h_1(x)=f(g(x))=3\cdot(-x+2)-1=-3x+6-1=-3x+5 $$
(2) Věděla také, že $(g\circ f)(x)= g(f(x))$ a určila předpis funkce $h_2$ takto: $$ h_2(x)=g(f(x))=-(3x-1)+2=-3x+1+2=-3x+3 $$
(3) Pak vypočítala funkční hodnotu $h_1$ pro $x=\frac23 $: $$ h_1\left(\frac23 \right)=-3\cdot\frac23 +5=3 $$
(4) Následně vypočítala funkční hodnotu $h_2$ pro $x=\frac23 $: $$ h_2\left(\frac23 \right)=-3\cdot\frac23 +3=1 $$
(5) Došla k závěru, že hodnota $h_1(\frac23)$ je o $2$ větší než hodnota $h_2(\frac23 )$.
Eviny kamarádky komentovaly její postup:
Zuzana: “Jsi dobrá, máš to bez chyby!”
Eliška: “Poslední tři kroky jsi vůbec nemusela dělat. Ze správně určených rovnic funkcí $h_1$ a $h_2$ je zřejmé, že funkční hodnoty $h_1$ budou vždy o $2$ větší než funkční hodnoty $h_2$ v libovolném bodě $x\in \mathbb{R}$, tedy i pro $x=\frac23$.”
Alice: “Tvůj postup není správný. Udělala jsi chybu v krocích $1$ a $2$, protože jsi prohodila složené funkce. Správně mělo být $h_1(x)=-3x+3$ a $h_2(x)=-3x+5$. To znamená, že $h_1(\frac23 )$ je o $2$ menší než $h_2(\frac23 )$.”
Nora: “Udělala jsi chybu v kroku $1$. Správně je $h_1(x)=3\cdot(-x)+2-1=-3x+1$. Rovnici funkce $h_2$ jsi určila správně,. Platí tedy, že $h_1(\frac23 )$ je o $2$ menší než $h_2(\frac23 )$.”
Která z Eviných kamarádek komentovala její postup správně?
Zuzana a Eliška
Alice
Nora
Jen Zuzana
Jen Eliška
Složená funkce $h_1=f\circ g$ je určená rovnicí $h_1(x)=f(g(x))$. To znamená, že funkce $g(x)$ je “vložena” do funkce $f(x)$. V rovnici funkce $f(x)$ je každé $x$ nahrazeno $g(x)$. Eva tedy postupovala zcela správně. A pravdu měla i Eliška. Liší-li se předpisy dvou funkcí pouze o konstantu, pak se jejich funkční hodnoty v libovolném bodě definičního oboru také liší o tuto konstantu.