Alica dostala za úlohu nájsť inflexné body na grafe funkcie: $$ f(x)=x+\sqrt[3]{x^5},~\mathrm{kde}~x\in \mathbb{R} $$ Najprv vypočítala prvú deriváciu $f$: $$ f'(x)=1+\frac53 x^{\frac23}=1+\frac53 \sqrt[3]{x^2} $$ a tiež druhú deriváciu $f$: $$ f''(x)=\frac{10}9 x^{-\frac13}=\frac{10}{9\sqrt[3]x} $$ Potom položila druhú deriváciu rovnú nule a dostala rovnicu: $$ \frac{10}{9\sqrt[3]x}=0 ,$$ ktorá nemá reálne riešenie. Na základe toho dospela k záveru, že graf funkcie $f$ nemá inflexné body.
Učiteľ požiadal Aliciných spolužiakov, aby sa vyjadrili k jej riešeniu:
Juraj hovorí, že na nájdenie inflexných bodov mala Alica položiť prvú deriváciu rovnú nule. Druhá derivácia nie je potrebná.
Sandra hovorí, že v druhej derivácii je chyba. Správne má byť $$f''(x)=1+\frac{10}9 x^{-\frac13}=1+\frac{10}{9\sqrt[3]x}$$
Monika hovorí, že výsledkom rovnice $\frac{10}{9\sqrt[3]x}=0$ je $x=0$.
Eva hovorí, že súhlasí s Alicou, že rovnica $\frac{10}{9\sqrt[3]x}=0$ nemá reálne riešenie. Tento fakt sa však nedá použiť na vyvodenie žiadneho záveru o inflexných bodoch. Ak skontrolujeme prvú deriváciu, uvidíme, že je kladná pre všetky reálne $x$. Z toho vyplýva, že daná funkcia je vždy rastúca. Takáto funkcia teda nemá inflexný bod. Rozhodnite, ktorý zo spolužiakov má pravdu.
Juraj
Sandra
Monika
Eva
Nikto z nich
Rovnica $$f''(x)=\frac{10}{9\sqrt[3]x}$$ pre druhú deriváciu je definovaná pre všetky hodnoty $x$ okrem $0$. Druhá derivácia v $x=0$ neexistuje. Môže však existovať inflexný bod, v ktorom druhá derivácia neexistuje. Pozorujme nasledovné: Prvá derivácia funkcie $f$ pre $x=0$ je konečná (konkrétne sa rovná $1$). Okrem toho nie je ťažké zistiť, že: $$ \begin{aligned} f''(x)&>0 \mathrm{~na~} (0,+\infty) \cr f''(x)&<0 \mathrm{~na~} (-\infty,0) \end{aligned} $$ Z toho môžeme usúdiť, že funkcia $f$ je rýdzo konkávna na $(-\infty,0)$ a rýdzo konvexná na $(0,+\infty)$. To znamená, že v bode $x=0$ je inflexný bod, takže bod $[0;0]$ je inflexným bodom grafu funkcie $f$ (pozri obrázok).
