Alice měla za úkol najít inflexní body grafu funkce: $$ f(x)=x+\sqrt[3]{x^5},~\mathrm{kde}~x\in \mathbb{R} $$ Nejdříve vypočítala první derivaci funkce $f$: $$ f'(x)=1+\frac53 x^{\frac23}=1+\frac53 \sqrt[3]{x^2} $$ a poté druhou derivaci funkce $f$: $$ f''(x)=\frac{10}9 x^{-\frac13}=\frac{10}{9\sqrt[3]x} $$ Druhou derivaci následně položila rovnu nule a získala rovnici: $$ \frac{10}{9\sqrt[3]x}=0, $$ která nemá reálné řešení. Usoudila proto, že graf funkce $f$ žádné inflexní body nemá.
Učitel vyzval spolužáky, aby komentovali řešení Alice:
Jirka říká, že pro získání inflexního bodu měla Alice položit první derivaci rovnu nule. Druhá derivace není potřeba.
Sandra tvrdí, že chyba je ve druhé derivaci. Správně by mělo být $$f''(x)=1+\frac{10}9 x^{-\frac13}=1+\frac{10}{9\sqrt[3]x}$$
Monika si myslí, že rovnice $\frac{10}{9\sqrt[3]x}=0$ má řešení $x=0$.
Eva říká, že souhlasí s Alicí, že rovnice $\frac{10}{9\sqrt[3]x}=0$ nemá reálné řešení. Z toho se ale nedá udělat závěr týkající se inflexního bodu. Pokud se ale podíváme na první první derivaci, zjistíme, že je kladná pro všechna reálná $x$. Z toho plyne, že zadaná funkce je všude rostoucí. Taková funkce tedy nemá žádný inflexní bod.
Rozhodněte, který ze spolužáků má pravdu.
Jirka
Sandra
Monika
Eva
Nikdo z nich
Druhá derivace $$f''(x)=\frac{10}{9\sqrt[3]x}$$ je definována pro všechny hodnoty $x$ kroměr $0$, v bodě $x=0$ tedy neexistuje. I přesto však v tomto bodě může nastat inflexe, což (jak se ukáže) je případ naší funkce $f$. V prvé řadě má funkce v bodě $x=0$ konečnou první derivaci (rovnou $1$). Dále není obtížné si uvědomit, že: $$ \begin{aligned} f''(x)&>0 \mathrm{~na~} (0,+\infty) \cr f''(x)&<0 \mathrm{~na~} (-\infty,0) \end{aligned} $$ Z toho můžeme odvodit, že funkce $f$ je na intervalu $(-\infty,0)$ ryze konkávní a na intervalu $(0,+\infty)$ ryze konvexní. V bodě $x=0$ má tedy funkce $f$ skutečně inflexi, tzn. bod $[0;0]$ je inflexní bod grafu funkce $f$, což můžeme vidět i na obrázku.
