A Alicia se le encomendó la tarea de encontrar los puntos de inflexión en la gráfica de la función: $$ f(x)=x+\sqrt[3]{x^5},~\mathrm{where}~x\in \mathbb{R} $$ En primer lugar, halló la primera derivada de $f$: $$ f'(x)=1+\frac53 x^{\frac23}=1+\frac53 \sqrt[3]{x^2} $$ y también la segunda derivada de $f$: $$ f''(x)=\frac{10}9 x^{-\frac13}=\frac{10}{9\sqrt[3]x} $$ Luego, fijó la segunda derivada igual a cero, obteniendo la ecuación: $$ \frac{10}{9\sqrt[3]x}=0 $$ que no tenía solución real. Basándose en esto, llegó a la conclusión de que la gráfica de la función $f$ no tenía puntos de inflexión.
El profesor pide a los compañeros de Alicia que comenten su solución:
Jorge dice que para encontrar los puntos de inflexión, Alicia debería haber fijado la primera derivada igual a cero. La segunda derivada no es necesaria.
Sandra dice que hay un error en la segunda derivada. La correcta debería ser $$f''(x)=1+\frac{10}9 x^{-\frac13}=1+\frac{10}{9\sqrt[3]x}$$
Mónica dice que la ecuación $\frac{10}{9\sqrt[3]x}=0$ da como resultado $x=0$.
Eva dice que está de acuerdo con Alicia en que la ecuación $\frac{10}{9\sqrt[3]x}=0$ no tiene solución real. Sin embargo, este hecho no se puede utilizar para sacar cualquier conclusión acerca de los puntos de inflexión. Si comprobamos la primera derivada, veremos que es positiva para todo $x$ real. Esto implica que la función dada es siempre creciente. Por tanto, dicha función no tiene punto de inflexión.
Decide cuál de los compañeros tiene razón.
Jorge
Sandra
Mónica
Eva
Ninguno de ellos
La ecuación de la segunda derivada
$$f''(x)=\frac{10}{9\sqrt[3]x}$$
está definida para todos los valores de $x$ excepto para $0$. La segunda derivada en $x=0$ no existe. Sin embargo, puede darse un punto de inflexión en un punto en el que no existe la segunda derivada. Observemos lo siguiente:
La primera derivada de la función f en $x=0$ es finita (concretamente, es igual a $1$).
Además, no es difícil darse cuenta de ello:
$$
\begin{aligned}
f''(x)&>0 \mathrm{~en~} (0,+\infty) \cr
f''(x)&<0 \mathrm{~en~} (-\infty,0)
\end{aligned}
$$
De aquí podemos concluir que la función $f$ es estrictamente cóncava en $(-\infty,0)$ y estrictamente convexa en $(0,+\infty)$. Esto significa que hay un punto de inflexión en $x=0$, por lo que el punto $[0;0]$ es el punto de inflexión de la gráfica de la función $f$ (ver figura).
